ÉLIMINATION IE> FONCTIONS ARBITRAIRES
116. On peut avoir, entre deux variables indépendantes x^y et une fonction inconnue z de ces variables,
io4 COURS d'analyse.
une équation qui renferme non seulement des constantes arbitraires, mais même des fonctions arbitraires de certaines quantités variables : une telle équation représente, en général, un nombre infini de surfaces. Nous allons voir comment on peut, à l'aide de diflerentiations, en déduire une autre équation qui ne dépende plus des fonctions arbitraires contenues dans la proposée.
Le cas le plus simple, qui répond à la question résolue au n^ 83, est celui où Ton a une équation de la forme
a étant une fonction explicite donnée de x^ y^ z eX, o désignant une fonction arbitraire de a. Si Ton différentie tour à tour l'équation (i) par rapport à ^ et à^,
df df df . Jdx d7.\
df df df ,, [ dt doL\
2y-^'^i.-^To'^^<dJ^~^'^d.}='''-
Il suffit d'éliminer cp( a) et cp' (a) entre ces deux équations et l'équation (i) pour obtenir une équation renfermant X, y y -3, p et q^ mais indépendante de la fonction cp ; elle exprime une propriété commune aux plans tangents à toutes les surfaces du groupe (i).
L'équation (i) peut se ramener à un type plus simple : en efi'et, elle détermine 'f (a) en fonction de x^ y, z, soit
P étant une fonction connue de x^ y^ z\ et cette dernière relation est un cas particulier de l'équation que nous allons considérer,
(2) 'Ka, 3) = o,
dans laquelle a et ^ sont des fonctions connues de x,,r, z^ et 6 désigne une fonction arbitraire de a et p. Les surfaces
Hi:rriÈME LKÇON. Io5
représentées par cette équation forment une famille caractérisée par les expressions de a et de p. L'équation ( 2), différentiée par rapport à x, puis par rapporta^, donne
d'%\dx'^^ dz) '' d^dx^^ d.z)~^'
dà.{djr^^Tz)-d'^[dy-^^dz) = ''-
Les dérivées partielles -3' > -^ satisfont donc à deux équations du premier degré dont les seconds membres sont nuls; et comme elles ne sont pas elles-mêmes constamment nulles, le dénominateur commun qui figure dans les formules générales de résolution de ces équations doit s'annuler, ce qui donne la condition
/da doi\ /d^ rf3\ / dx doL\ / d^ dV.
\dœ-^PTz)^rc^'^^-Â)--\dy-^'^d^^
ou, en réduisant,
(^^ ^ ^ ^^\ (^ ^^ __ ^" ^^ \ \ dz dy dy dz)^ \ dx dz dz dx / ^
dy dx dx dy
C'est une équation aux dérivées partielles, linéaire et du premier ordre; elle est indépendante de t}/, tout en étant une conséquence de Téquation (2) à laquelle elle est équivalente, comme on le démontre dans le Calcul intégral.
117. Considérons maintenant une fonction inconnue zde n variables indépendantes Xi, x^. . . . , x„ et soient a, Ji, . . . , )v /i fonctions connues de >3, Xf , ^2? • • • > ^// î on donne l'équation
dans laquelle ^ désigne une fonction arbitraire de a,
I06 COURS DAKALTSE.
3, . . . , A. et l'on demande d'en déduire une équation indépendante de 4. A cet effet, nous différenlierons tour à tour l'équation < 3 r par rapport à Xi, x^. • • • < ^a- Si nous posons
(iz dz dz
djc\^P'' 57,=^»' •-•' drn^^''^
il viendra
. d'I ; d% dn d'I ' (Tk d)
/ d'j f di du dl d\ di. ^
^ dl ^dXn ' dz dh dJTa "^ dz ^
Nous devrions exprimer que ces équations admettent
pour-/ ? '*'9 ~± des valeurs différentes de zéro; mais, ^ dT. (Tk
pour reconnaître la forme de l'équation qui exprime cette condition, sans m'appuver sur le calcul des déterminants, je remplacerai les n équations (4) par le système suivant, qui leur est équivalent,
d^d% d^d^ ^ d^dTk
diLciz ' di dz "'^d>.dz "^ **'
dl^ di d\, d} ^^! ^^ „ /
d% dr'i • d'i ~dT^ • •••■^ di ~dx\ -P^^-^y
d'I du dl dl^ d^ d}^ ,
dt dXa <i dXn ' "• ■ ^X dXn ' ^«^'-^•
Nous avons n -\-i équations homogènes et du pre-
mier degré par rapport 21 j' » ^o ' ' ' • » ;^ ^^ ^ • comme
ces quantités ne sont pas toutes constamnient nulles, le dénominateur commun qui figure dans les formules générales de résolution doit s'annuler. Chacun des termes de ce dénominateur est le produit de /i -h i coefficients appartenant tous à des inconnues différentes; p^^
HUITIÈME LEÇOW. IO7
^21 • • • y figureront linéairement et le résultat cherché sera de la forme
Pi/>i-4-P2/?2-i-...-i-P/,/?/;-f- Q =0,
P,, P2, ..., Q étant des fonctions explicites de ^,, x^^ . . ., 0^/2 et ^ : on a encore une équation linéaire et du premier ordre aux dérivées partielles.
118. La liaison qui existe entre plusieurs variables indépendantes et une fonction de ces variables peut dépendre d^une fonction arbitraire dans des conditions différentes de celles que nous venons d'étudier et conduire à une équation aux dérivées partielles qui ne sera plus linéaire. Soient
(5) /[^»JK, z, a, ^ya)\^.o
une équation entre x,y^ z, un paramètre a et une fonction arbitraire y de ce paramètre ; posons en outre
il a.,i,„.« >. dérivée .ou,, d. / p„ „pp.„ . „.
L'équation (6) établit une relation entre a et Xyy, z\ on n'en pourra tirer la valeur de a qu'en particularisant la fonction o, mais a n'en est pas moins, d'une manière générale, une fonction de Xj y, Zj et si l'on imagine qu'on mette cette fonction à la place de a dans l'équation (5), celle-ci définira une valeur de z qui dépend de la forme de la fonction arbitraire <p, ou, si l'on veut, elle représentera une famille de surfaces qui se distinguent les unes des autres par la forme de o.
Gela posé, différentions l'équation (5) en regardant a comme fonction de x^ y^ z] nous aurons
dx ^ dz da\dx ^ dz J
df df df.'da da\
ir-^'^dz-'-da^dJ-'^dz)-''''
io8 COURS d'analyse.
En vertu de l'équation (6), les dernières parties de ces équations disparaissent et, entre les équations réduites et Téquation (5), on peut éliminer a et ^{a) ' Téquation résultante est aux dérivées partielles du premier ordre, mais, en général, elle n'est plus linéaire.
Dans le cas de n variables indépendantes, on aurait, au lieu de l'équation (5), une équation renfermant /i — i paramètres et une fonction arbitraire de ces paramètres, et, au lieu de l'équation (6), les n — i équations formées en égalant à zéro la dérivée de la première par rapport à chacun des paramètres qui y figurent.
Comme exemple, considérons les deux équations à deux variables indépendantes
(5 bis) (37 — a)2-f-[y-"cp(a)]2-h;:^r^R2,
(6 bis) X — ci>-^\y ~- 'f (<^)]^'(«,) ~ o;
en Géométrie, elles représentent Tenveloppe d'une sphère dont le centre parcourt une ligne arbitrairement choisie dans le plan des xy. Si nous difierentions partiellement l'équation (5 bis)^ en ayant égard à la suivante, il viendra
x — a-^pz =o, y — o{a)-~~qz =o;
l'élimination de a et de 'f (a) nous donne
119. On peut avoir à considérer des équations plus générales que les précédentes et renfermant plusieurs fonctions arbitraires; il est toujours possible, en prenant les dérivées partielles jusqu'à un ordre suffisamment élevé, d'avoir assez d'équations pour éliminer les fonctions arbitraires et leurs dérivées introduites par les différentiations : on formera des équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur. Je me borne à donner deux exemples très simples de cette élimination.
HUITIÈME LEÇOH. lOQ
Soit d^abord Téquation
m étant une constante, <p et ({/ deux fonctions arbitraires. Si l'on différentie deux fois par rapport à ^ ou deux fois par rapport à y^ on trouve
^ rr. o'ix -f- mjy) -+- Y(x - my),
l'élimination se fait immédiatement et donne une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre
^ rf«x d^z dx^ dy*
Soit maintenant le système des deux équations
ax -\-yo{a)-i- 6(a) ~ ^ = o, x 4-/o'(a)-4- *y(a) = o.
Si Ton différentie la première par rapport k x ei k y^ on trouve, en tenant compte de la seconde,
la fonction ^ a disparu, et rien n'est plus facile que d'éli- | (^ miner aussi \: on trouve <
? = ?(/') o" $='^H)' différentions tour à tour par rapport k x et ky :
dxdy " "^ ^P^ ^' d^t - ? \Pf d^y'
L'élimination de ^'{p) conduit à l'équation non linéaire
dx^ dy^ \dxdyj
1IO COURS d'analyse.
