CHAINGEMENT DES VARIABLES INDÉPENDANTES

120. Supposons qu'ayant à considérer dans une expression quelconque deux variables indépendantes^, y,

une fonction M de ces variables et les dérivées partielles -,"i

y- 7 -.-j> "y on veuille substituer k x et à y deux nouvelles variables indépendantes Ç et r, : en général, x et y seront des fonctions données de ç et de tj et on n'aura qu'à les remplacer par leurs valeurs; mais il faut voir comment on exprimera les anciennes dérivées partielles de u au moyen de ses dérivées relatives à Ç et à y;.

Si, dans la valeur de u en fonction de x et y, on remplace X et y par leurs valeurs en ç et r,, u deviendra une fonction de ces dernières variables et l'on pourra former ses dérivées partielles à l'aide du théorème des fonctions composées :

(du du d.r du dv 'dl " di ~dl " dy cil'

I du du dx du dy \ dr^ dx dr^ dy dr^

rf* u __ d^ u f dx \ 2 ff^u (ix dy

~d\^ ~ ~di^ \'dl) ■^~ ^ dxdy ~d\ 'd\

d^u /dy\^ du d^x du d^y

~i\di I '

dy^\d^f dx d^*' dy d\^

On connaît -^ >-,?••• en fonction de ç et t), et les

d\ dr\ ^17

équations (i), qui sont du premier degré en -^ > -r-, y-g > • • • > permettent de calculer ces dérivées en fonction

de -pr^ -,-y ••• Il est d'ailleurs évident que l'analyse

précédente s'étend au cas où il y a plus de deux variables indépendantes.

HUITIÈME LEÇON. III

121. On peut quelquefois suivre avec avantage une voie différente : supposons u exprimé au moyen de Ç, T,, et remplaçons ces variables par leurs valeurs en x et^; u redevienl^une fonction de x et^, et Ton a

du du d\ du dr\

dx d^ dx dr^ dx

du du d^ du dT\

dy ' dî dy dr^ dy'

d'- u d\ / d^ u dl d^u dr, \

d'x^ '^ dx \dî^ dx "'' dfdr^ dx)

fd ^'i

du j dx d\ 7yj \~d<~ di d-t\ , d^ u d^ dx d^dr^ dx dr\

dx dr\

dr\ dx

d^u dri^

dy^^ dx

dr\

du I dx d\ dx d-t\ \

î/r, d\ dx dy\ dx -

mais il faut, pour l'objet qu'on se propose, que -r> ~^> •••

soient exprimés en fonction de ç et de r,.

Admettons, par exemple, que x Qi y désignent des coordonnées rectangulaires et qu'on veuille leur substituer des coordonnées polaires ; on a

et ces formules de transformation conviendraient à l'emploi des équations (i); mais on a aussi

d'où

r — \/x^->r y-, ô = arc tang— >

dr X fi ^'* • ft

-, - = ->^^^ = cos6, ~- = smO,

dx ^/^^yt dy

d^ y sinô

rosO

dx '~ x^-^r y^ ~ r '

dy =

112 f.OlP.S D AjrALTSE.

On peut appliquer les formules (2) et l'on trouve

du ^ du 5in6 du dx dr r </0

du . ^ du co*6 du dy ~'" ' dr r dh

j^ d^u sin!i6 d*u «in*6 d^u ''^- dr- r drd^ * r* é^î

dx*

sin'O û^a «in 2 6 du r dr r^ d^^

d^u dxdy

. . .[d^u 1 du I d^u\

cos 2 6 l drU 1 ^f/'^ r 'Vré/e r d^y

^"* dr^ r drd^ r» rfô»

r dr r^ db

De ces relations on tire deux formules importantes :

.'duy

[dxj

\dr)

/duy

dx^

dy* dr*

rfO»

r dr

122. Il peut arriver qu'on garde une des variables indépendantes primitives, x par exemple, et que les autres variables indépendantes soient seules changées; ainsi on a d'abord x et j^ et Ton prend ensuite x et une variable ç qui est donnée en fonction de x et de y. Il est essentiel de remarquer que la dérivée partielle de u par rapport à x n'a pas la même valeur dans les deux cas ; si on représente les dérivées partielles par la lettre cl quand les variables indépendantes sont x et j', et par la lettre d quand ce sont x et Ç, on a

du du du d^ dx dx d^ dx

HUITIÈME LEÇON. Il'^

Le mol de dérivée partielle par rapport à x n*a de sens précis que si l'on indique les quantités qui restent constantes quand on fait varier x.

La Géométrie donne une représentation bien claire

de^ et de y-; imaginons que u représente l'ordonnée d'un point quelconque M d'une surface, dont la projection sur Oxy a pour coordonnées xety : -j- est le coefficient angulaire de la tangente en M à la section faite dans la surface par un plan parallèle au plan des ux;

-r- est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe

suivant laquelle se projette, sur le plan des ux^ l'intersection de la surface avec le cylindre lieu des points pour lesquels ^ est constant.

CHANGEMEIfT SIMULTANÉ DE LA FONCTION' ET DES VARIABLES INDÉPENDANTES.

123. Dans les conditions où nous nous sommes placés au début du n° 120, on peut se proposer de changer à la fois toutes les variables : k x, j", u on substituera des variables ç, t), u telles qu'on ait

et l'on regardera u comme fonction de ^ et de r^ ; il

s agit d exprimer^, ^^, ... au moyen de^,^,^'"--

Puisque u est une fonction de Ç et r,, on tirera des équations (3)

dx ^^ d^ dj dy d^ d^ dj

<ii " d\ '^ dj d\' d\ ^~di'^ dj~d{' '"'

du __ dy^ dy dj d'r\ dr^ du dr^

d^T ^ d^o d^^ du d^^ f^'^Y ^^ ^*'^

<^ ~ "5^* "^ ^ dîdj d'ç'^d^ \dO "^ dj :5p '

Stcui. — ^n.f I. 8

Il4 COURS D*ANÂLTSE.

Il suffit de remplacer les premiers membres de ces identités par leurs valeurs dans les relations (i), n° 120, pour obtenir des équations susceptibles de déterminer nos inconnues. Les calculs faits d'une manière générale seront très longs, mais on peut les abréger dans les cas particuliers, en traitant directement la question par une méthode semblable à celles que nous avons exposées.

EXERCICES

I** Etant donnée l'équation générale d'une parabole

en déduire une équation indépendante de a^ b, /?, q. Solution. — En différontiant deux fois de suite, on a

y=zpp^2px^q)-\ (jT'- ^J^;

et Ton différentiera encore deux fois.

2® Que devient l'expression ^ rj. '~ ï -y- quand on substitue à X ^i y les variables r et 6, telles qu'on ait

j7 = rcos6, jr = ''8in6?

Solution :

3"* Éliminer les fonctions cp et «j' de l'équation

Solution :

"i 7^^-^P'^l^rT.'^P'^;r:^=^'

dv^ "^^dxdy ' ^ dj

!\' Éliminer les fonctions cp et ^j' de l'équation

z = ^{ax -t- hy) ^{ay — hx).

Solution :

NEUVIÈME LEÇON. IID