DÉMONSTRATION DE LA FORMULE DE TAYLOR

124. On a vu, dans V Algèbre élémentaire, que, si l'on désigne pary(:r) une fonclion entière et de degré n de Xj on peut développer /(j: + A) en ime suite ordonnée suivant les puissances entières de raccroissement h, et qu'on a la formule

f{x H- h) =rf(x) -i- hf\x)

cette suite se termine d'elle-même à son n -f- 1 *'-'"* terme : les termes qu'on obtiendrait après celui-là en suivant la loi de formation du développement seraient nuls; en effet, /"(^) est une constante, et les dérivées suivantes àe f[x) sont nulles.

Quand f{x) ne désigne plus une fonction entière et da degré n, il suffit évidemment d'ajouter au second membre de la formule (i) un terme complémentaire convenable, Rrt, pour le rendre égal à f{x H- A); la ques-

ii6 coLRs d'amltse.

lion esl d'obtenir une expression sîm|ile de R„. Pour y panenir, nous nous appuierons sur le lemnie suivant.

123. Lemme. — Soit F(j une fonction de z qui s'annule pour deux valeurs, a et fr, de z, et qui admet une dérivée finie et bien déterminée F\:;) pour toutes les valeurs de z comprises entre a et b; il y a toujours au moins une valeur de z comprise dans le même intervalle, pour laquelle F\z) s'annule. [

Puisque, pour toutes les valeurs de z comprises entre a et 6, F(z) a une dérivée finie et déterminée, elle esl elle-même continue; si elle était constamment nulle, F'(^) le serait aussi, et il y aurait une infinité de valeurs de ^jouissant de la propriété énoncée. Supposons donc que, z variant dans l'intervalle a, b, F{z) prenne des valeurs différentes de zéro, positives par exemple : il j aura forcément au moins une valeur ^i de z, comprise entre a et b, pour laquelle F{z) aura une valeur plus grande que pour les valeurs de z comprises entre ^i — £ et J3| + £, £ étant suffisamment petit; si donc h est compris entre o et e, on aura

F(zt-^h)-F(z,) ^ ¥(zi^h)-F(Zi) ^ h ^ °' -Il - ^•

bi nous laisons tendre h vers zéro, -,

tendra, d'après Thypothèse, vers une limite déterminée qui sera F'(5|); en vertu de la seconde inégalité, cette

limite sera négative ou nulle; de même ^ — ~-t ^^

aura aussi pour limite F'(-3|); mais, d'après la dernière inégalité, cette limite doit être positive ou nulle : il faut donc que F'(5,) soit nul, et le théorème est démontré.

Cette démonstration, due à M. Bonnet, met liors de

NEU V lÈME LEÇOK . I I 7

doule un des points fondamentaux de l'Analyse; elle exige seulement que F'(.3) soit finie et déterminée sans qu'on ait à se préoccuper de sa continuité, ni même de son existence pour z = a cl z =: b. Il faut d'ailleurs remarquer que la valeur 5|, dont l'existence a été établie, est distincte de a et de b.

126. Cela posé, représentons par — - - le terme complémentaire R„ de la formule de Taylor; on aura

/( j- -H /O -/( ^ ) - A/'(:r . - . . . 1.1. . .fr i.'2. . .n

Nous poserons

a? -f- ^ — X, d'où /i — X — X, et l'identité précédente deviendra

Nous supposons que :r et A et, par suite, X soient des quantités fixes données; A est alors un nombre^ propre à vérifier l'identité (9.). Soient, au contraire, z une quantité variable et cp(^) une fonction définie de la manière suivanle :

ç(^,=./(X,-/(^)--^-i/'(5)-^-''lV'(-^-...

\.'>.. . .ïf^ 1.9. .. .n

r'v^) s'annule évidemment pour ;; = X; elle s'annule aussi pour z ==x, car alors elle devient égale au premier membre de l'identité (9/); nous pouvons essaver de '"t appliquer le lemme du n° 125, et, pour cela, nous

ii8 coLRS d'analyse.

calculeroDs z.'' Z) : on trouve

r(X — -v» ./ fx- 5)«-« . ,1

tous les termes se détruisent à Texception de deux, et il reste

Si f"'^Hz) est fini et déterminé pour les valeurs de z comprises entre x et X, il en sera de même pour 'f '('^)» et, d'après ce que nous avons vu, ^'{z) s'annulera pour une valeur z^ comprise entre j: et X ou x -h A ; cette valeur pourra être représentée par x -\-^hy 6 étant une quantité inconnue a priori, mais comprise entre zéro et Tunilé. Comme z^ est différent de X, on aura

(/i-M)A— /''+»(a:-+-0/i»=:o, A = — ^/'»+Uj:- OA)

et, par suite,

hn A'»-'-»

C'est Lagrange qui a mis sous la forme (3) le terme complémentaire ou reste de la formule de Taylor^ h peut être positif ou négatif; àrégarddelafonclion/(j5), on s*inquiélera seulement de savoir si sa dérivée n -h i **"** est finie et déterminée dans Tintervalle de x k x -{- hi

MEUVIEHK LFÇON. ITp

il en résultera d'ailleurs que f(z) et ses n premières dérivées seront finies et continues.