AUTRES FORMES DU RESTE

127. On peut déduire du résultat précédent une seconde expression du terme complémentaire R;, qu'il est quelquefois utile de considérer. Si nous arrêtons le développement de /(x -h h) au n**°* terme, nous aurons, comme dans la formule (4 )«

hn-\ hn

h étant toujours compris entre o et i, mais n'ayant

plus la même valeur que lorsqu'on prend n H- i termes

de la suite. Ajoutons et retranchons dans le second

jift membre f'^{^)\ nous aurons les /i -h i premiers

termes de la formule de Taylor, et le terme complémentaire sera

celle expression suppose seulement que f'^{z) soit finie et bien déterminée quand z varie de x à j? -+- /i ; mais /"^Uz) n'est plus "assujetti à aucune condition.

Nous pourrons obtenir plusieurs expressions de R^ en suivant mot à mot la méthode du n** 126, sauf une légère modification au point de départ : elle consiste à

écrire R„ sous la forme — — , B étant un nombre à

déterminer, p l'un des entiers i, 2, 3, .. ., /i-f- 1 choisi arbitrairement. Au lieu de l'identité (2), nous aurons

(/(X)-/(ar)-(X-^)/'(:r)~...

I20 COUnS D*AlfALYâE.

La fonclion de la variable z que nous inlroduirons sera

—fn(z\ — B — :

elle s'annule pour ;î = ^ et pour ;5 =rr X ; sa dérivée, qui se réduit à

s'annulera pour une valeur de z que nous pourrons encore représenter par j:4-6/«, 0 étant toujours compris entre o et i, mais n'ayant pas la même valeur que dans les résultats précédents; on aura donc

pB — [r H- h- ( X -T- 6 //)]«-/»+» /«+*(j--f- 6 /i)

— (l-- {^)n-p-^\ h^^-p-^X fn^\(^x -^ O/O

et enfin

On aura diverses expressions de R„ suivant la valeur qu'on aura prise pour/? : si l'on fait^ — - /i -i- i, on retrouve l'expression (3), donnée par Lagrange; pour ^ = I, on obtient une formule due à Cauchy ;