REMARQUES SUR LA SÉRIE DE TAYLOR
128. Quand f{x) ne désigne pas une fonclion entière de x^ on peut prolonger indéfiniment la suite de Taylor, qui devient une série; pour que cette série ait pour somme /"(x-i- A ), la condition nécessaire et suffisante est évidemment que R« tende vers zéro pour n infini ; cette circonstance entraîne la convergence de la série de
(*) Cette élégante méthode de démonstration est due à M. Rouché.
Taylor; le terme complémentaire R» est alors le reste de la série.
Quand le (n -+- iV*"® terme de la formule pour le développement de /{x -h h) n'est pas nul, on peut toujours prendre h assez petit pour que le terme considéré soit, en valeur absolue, plus grand que le terme complémentaire R« : il suffît que Ton ait (3) en valeur absolue,
d'où
il est possible de satisfaire à cette inégalité par une valeur finie de h si f"{x) est différent de zéro, et /'»^' (z) fini dans l'intervalle x à x -i- h.
On voit même que le rapport de R^ au terme en A" où Ton arrête la série tend vers zéro avecA.
SÉRIE nE maclaurin.
129. Si l'on fait x - o dans l'équation (4), et dans celles qu'on obtiendrait en substituant les expressions(5) et (^) de R/,, et si l'on remplace ensuite la lettre h par la lettre x, on obtiendra les formules
J[x) =f{o) -f. xf (O) 4- — /";o) H-, . .
It+l
/v"-*-')(0jc1.
\/{x) ^/(o) + xr (o) 4- — /"(o:' + • • .
*^ , fW (o) + ' . /î"+' ' (9«).
ia2 COURS D ANALYSE.
On développe ainsi une fonction quelconque de x en une suite de termes ordonnés suivant les puissances entières et ascendantes de x, pourvu que la fonction dérivée de l'ordre /i -+- 1 ou celle de Tordre n de/(x') reste finie et déterminée pour les valeurs de la variable j/ com— prises entre o et x.
Si, lorsque n croit indéfiniment, l'une des expressions
ou
tend vers o, du moins lorsque x est au-dessous d*ane certaine limite, la série
indéfiniment prolongée sera convergente, et, en outre, aura pour somme^ (o:). On a dans ce cas
Cette dernière formule est celle de Maclaurin, Si elle était démontrée avant la formule de Taylor, ou pourrait en déduire celle-ci, en considérant /(a: h- /i) comme une fonction de h à développer suivant les puissances de h par Tune des formules (lo).
