REMARQUES SUR LÀ FORMULE DE MACLAURIN
130. La fonction y (r) ne peut pas être développée suivant les puissances de x par la formule de Maclaurin, quand cette fonction ou Tune de ses dérivées devient infinie ou discontinue pour x = o. Mais on peut alors la développer suivant les puissances dex — a, en changeant dans la formule deTaylor (6) x en a et h en x — a, ce
qui donne
f{x)=f{a) ^ix~a)f\a)
I^ seule condition à laquelle la valeur a soit assujettie est quey^""'"*'(.s) reste finie et déterminée pour toutes les valeurs de z depuis a jusqu'à x ; la série sera d'autant plus convergente que la différence x — a sera plus petite.
131. La fonctiony(:r) ne peut être développée en une série convergente procédant suivant les puissances entières et ascendantes de x autrement que par la formule de Maclaurîn ; car supposons cet autre développement en série convergente,
on en conclut [A-/(o)]-h[B-/'(o)]xH-[c-^^jx'-l-...r=o.
En faisant x = Oj régalité précédente se réduira h A =y(o). Divisant par x et faisant de nouveau x = o^
on aura B = /' (o). On obtiendra de même C = - -^^ — »
et ainsi de suite.
De même la formule de Taylor donne le seul développement possible de y(x -h h) suivant les puissances entières de h.
132. Il ne faut pas croire que la série indéfinie de Maclaurin, quand elle est convergente, ait toujours pour sommey (jc) ; la somme de ses termes peut converger vers une limite différente de f[x). Par exemple, la fonc-
lion e '* devient nulle ainsi que toutes ses dérivées pour j:=:o; tous les termes de la série de Maclauriu
appliquée à cette fonction sont donc nuls, et cependant la fonction n'est pas nulle. Si (p [x) est une fonction développable par la formule de Maclauriu, et qu'on pose
la fonclîony*(j:), développée par la même formule, donnera lieu à une série convergente, mais qui aura pour somme y (x) et non pas la fonction développée y (x).
L'égalité d'une fonctiony(j:) à la série de Maclaurin prolongée à Tinfini n'a lieu que dans le cas où le reste qu'il faut ajouter à la somme d'un nombre quelconque de termes de cette série, pour avoir la valeur exacte dey*(jr), devient plus petit que toute quantité donnée quand le nombre des termes croît jusqu'à l'infini.
Les mêmes remarques s'appliquent à la série de Taylor.
