AUTRE DÉMONSTRATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR

133. Soient m la plus petite et M la plus grande valeur dey^'""*"*^ (jt), lorsque x croît depuis Xq jusqu'à X. Si a 4- A est une quantité comprise entre Xq et X, on aura

Mais le premier membre de celte inégalité est la dérivée par rapport à h de la ibnction

/(«; (û : /i. — /(«) (a) km;

donc cette fonction croit avec //, et comme elle est nulle pour /? = o, on aura pour A ^ o

Maintenant le premier membre de cette nouvelle inégalité est la dérivée par rapport à h de la fonction

donc celle dernière fonction est croissante avec a, et comme elle s^annule en même temps que A, on aura pour A >> o

/(»-.) (a^k) -/(— ')(fl) — h/i») (a) - — > o. On aura de même

/•(—îj(«-f//)—/(-*)(fl)— ///("-•)(«) f^''\a) 5>o,

I • 2 I iSaO

et eniin

/(« + /!) -/(a)- A/" (a) -il/' («)-...

/(-)(a) . r/if>o.

On trouvera de même

On conclut de ces deux inégalités

/[n^h)=na)-^hf'{a)^--^r{a)-^...

R est une quantité comprise entre r m et

-^ r M; par conséquent on peut la représen-

^" P""" ..a..*.'(l + ,) /'""" (« + ^*). si /"^"(x) reste finie et continue pour toutes les valeurs de x com-

126 COURS d'ànàltsb.

prises entre Xo et X. On aura donc

f{a^h)^.f[a)^hf'{a)-^—f''[a)

/.« /.iH-l

H / («) (a) H fin^^Va-^^h),

ce qui est bien la formule de Taylor^ accompagnée de son terme complémentaire.

On a supposé jusqu'ici Taccroissement h positif. Lorsque cet accroissement est négatif, il n^y a de changé dans la démonstration précédente que le sens des inégalités (i)et(a).