Si la valeur de x est négative, rien ne prouve

-— j ne croîtra pas indéfini men l ,

et même il devra croître, à moins que 6 ne tende vers o. Il faut alors recourir à la seconde forme du reste (127),

on a donc, en valeur absolue, si Ton pose x = — z,

ou

•{hij-^'-^'-''^^''

Le premier facteur tend encore vers o , quand n augmente (140).

Dun autre côté, comme on a t"*^*'! iz)

I — V z \ i — Hz j

peut devenir plus petit que toute quantité déterminée, à moins que Q ne tende vers o, et dans ce cas même ce facteur est toujours plus petit que i .

D*aillcurs (i — 9^)"*"* est <[i sim — i est positif,

ei <' ; — si m — I est négatif: c'est donc, dans tous

les cas, une quantité finie. Donc R peut devenir moindre que toute quantité donnée, si n est assez grand.

Eu résumé, si x tombe entre — i et H- i, on a, quel que soit m,

DIXIÈME LBÇOH. I <i3

DÉTBLOPPEIIEIIT UE log (l + x).

U± Soit

(On ne cherclie pas à développer \x parce que x = o rend infinies cette fonction et ses dérivées.) On aura

/(x)={i4.ar)-, r(x)=^i[i-hx)-\ /"(x) = l.2(n-x)-\..,

/C«)(jr)=±i.2. . .(/f •— l)(i-l-x)"«,

donc

234 ■ /i"^//-i-l '(i-hOo:)"-^'

Le rapport d^un terme au précédent est en valeur absolue —^ — or, et converge vers x quand p augmente.

Donc (52) la série est divergente lorsque la valeur absolue de X est supérieure à i .

Supposons maintenant qu'on ait, en valeur absolue, X moindre que i. Dans ce cas la série est toujours convergente» et nous allons démontrer qu'elle a pour somme l{i-+-j).

I** Soit d*abord x positif; on a

« -f- i \i -f- BxJ

ô^cst une fraction proprement dite 5 sa puissance

(« -h- 1)**"* pourra devenir plus petite que toute quantité donnée; et il en sera de même de R, àforiion.

2® Soit maintenant x négatif. Posons x = — z. On aura, abstraction faite du signe,

i34 COURS d'analyse.

Maïs, sous cette forme, on ne voit pas que le reste tende vers o; prenons donc Tautre forme de R (127),

on aura

fz~-Qz\* z

\i—Bzl I — ô»

Ur on a — - <'z<'i. Donc — ) » et par suite

I — ô»^ ^ \i — Ôay ^

( - r-j X —-> peut devenir plus petit que toute

quantité donnée.

Ainsi, lorsque x tombe entre -H i et — i , on a

X* jr» a:*

(l) lfi-}-x; = x «--T — ^ -•"