Toute expression imaginaire a-^b\ — 1 peut
èire mise sous la forme r (cos t -f- v^ — i sin /)• U faui et il suffit^ pour cela, que Ton ait
^a} -f- b^j cos / =:- — — et sin / =: -^
on a aussi
b tangr = -•
La quantité r, que l'on prend toujours positive, est diie le module de l'expression imaginaire. Les valeurs de sin t et de cos t font connaître l'arc t ou V argument : on le choisît ordinairement positif et plus petit que la circonférence.
FORMULE DE MOIVKB.
152. Le produit (cosx-f- y — * sinx) multiplié par (cos^-4- V — 1 sinj^j a pour partie réelle
cosxcos/ — sinarsin/ ou cos(j:-4-^J,
et pour coefficient de y' — * 5
sin «cos jr -h sin j cos j: ou sin(jr-f-^).
Par conséquent,
(cosx -t- ^— I sinxy (cos/ H- >J— i sin/) = cos(jF -\-jr) -f- y — * sin(x-f-j).
On conclut de là, quel que soit le nombre des facteurs,
(cos X -f- ^ — 1 sm arj ; cos/ -f- y — 1 sin/y cos z -f- y — i sm 2; . . . =rcos [x -+-/-+-«-+-. . .)-hV — isin^j. -f-/H-s -+-. . .;.
En supposant a* —/ = -s = . . . , on en déduit, m désignant un nombre entier et positif,
(1) (cos X -t- y — 1 sin ar j" = cos mx -t- ^ — 1 si
sm mx.
i44 COURS d'analyse.
Cette formule, appelée formule de Moiyrcj est encore vraie lorsque m est un nombre fractionnaire, positif ou
négatif.
DÉVELOPPEMENT DU SINUS ET DU COSINUS d'uN MULTIPLE d'un arc suivant LES PUISSANCES DU SINUS ET DU COSINUS DE CET ARC.
153. Si Ton développe la formule (i) et que Ton égale, de part et d*autre, les parties réelles et les parties imaginaires, il vient
ces nix =r cos" X cos""' X sm' x
' /lî(/W— l)(/W— 7.)f'»— 3) .
H ^r— 7 ^cos"* *j:sm*x — ...
et
sin mx r= m cos*~' x sm x
(3)J m{ rn — j] ( m — ■?.)
ces"'""* X sin' X -4- ... .
On voit que cos mx et sin mx s'expriment en fonction rationnelle de sin x et de cos x. Dans tous les cas, cosrnjc peut s^exprimer en fonction rationnelle de cos x seul, mais sin mx ne peut s'exprimer en fonction rationnelle de sinx seul que si m est un nombre impair.
DÉVELOPPEMENT d'uNE PUISSANCE d'uN SINUS OU d'uN COSINUS SUIVANT LES SINUS OU LES COSINUS DES MUL- TIPLES DE L ARC.
154. Pour résoudre la question inverse et développer COS"* X et sin" x suivant les cosinus ou les sinus des divers multiples de jr, posons
lin- cosx-f- /— isinx et p=r:cosx — ^ — isinxy
^cosxz:^ u-^-v et 2 w — 1 sin X = M — ♦*;
OHZIEHE LEÇO». l45
de là résulte
a"cos" j:= («-^-fj'"^: a"-t-iww"^' v-i : -w''^* •»*+..•
Il convient de distinguer deux cas.
1° Quand m est pair et égal à s/z, le développement renferme un nombre impair de termes et il y a un terme
du milieu qui est — ^ — ^^ ^u"p". On a donc,
en groupant les termes également distants des extrêmes,
2"cos* jf = u^-^ p* H- muv (o"^' -f- p*^») -h . . .
Or «''-f- l'ï' = a cos px et u^ t^'' = i , puisque m^' = 1 5 donc
2" ces" X = 2 cos /wx -f- 2 m cos ( /w — 2) X 4- . . .
m(m — ï). . .fn -*- 1)
d'où
2"~* ces* X = cos wdf -f- m cos (m — 2 ) j?
COS [m — 4J *-+-•• -H ~ ■•
2® Si m est impair et égal à 2fi + 1 , (m -4- ^')'" aura un nombre pair de termes, et l'on obtiendra facilement
(2*""* cos*x r= cos mx 4- m cos {m — 2) jf
' 'i -4--Î icos(m— 4)*-4----» ^^ ^ ■
cosx.
