Pour avoir sin'"X9 il faudra prendre la formule

u — p = 2 \j — I sin X, et en élever les deux membres à la m^"' puissance; il

Storh. — jân,f I. 10

i46 cor as d^ivaltsc.

viendra

IV — «7 IT .sur X z=z t^ — /lfl^-*PH — «•'*p*...

i^ Supposons d^abord m pair et égal à a n. Alors

et il y aora on terme du milieu qui sera

On aura donc, en groupant les termes deux a deux,

. m(m — \). . .( n -i-\^ zr u» p»,

ou, en remplaçant u'+i^ par acosAx, k^i^ par i, et divisant les deux membres par 2,

i ( — I )" 2"^' sin" X =z cosmx — m co$ {m — 2 ) x

(3) { m(m — i^ , ,, , 1 m(m — i^...'«-i-i\ ^ '1 H i cos(m—i)x — ..rJz ^ r '•

2^ Supposons m impair et égal à 2/» + i . Alors

(v/=Tr=(-,)-v/:r7,

et Ton aura, en groupant les termes deux à deux,

( — i)*^ — I 2*sin"'xi= (a" — p") — i?fiip(a*"» — c"^')

±: : U^V^lU — 9\

En général,

«^ — p*=2^ — I sin ^Xy ii*p*z^i.

ONZIÈME LEÇON. l^J

Donc, en divisant les deux membres par 2 ^ — 1, il viendra

( — i)«2»t-i sin'«a: — s'mmx — msin(m — a)x

(4){ m(m — 0 , ,. ,m{ni — r )... (/1-+-2) .

• -4 sin(/n — 4)^-- — ^sinar.

DÉFINITION ET PIlOPaiÉTÊS DE 6^, SIN >7, COS ^, QUAND Z EST IMAGINAIRE.

156. Les fonctions rationnelles d'une variable imaginaire sont définies par la seule extension des règles du calcul des quantités réelles aux imaginaires; mais les fonctions transcendantes ou irrationnelles doivent élre définies directement. Considérons d'abord la fonction exponentielle.

Quand z est une quantité réelle, on a

Si Ton donne à z une valeur imaginaire quelconque, le second membre de cette égalité forme toujours une série convergente; car, en posant

z = p(cosu} -H / — I sinco), il devient