I -+- p(cosa) -\-^ — isino

(cos/iu) •+- / — isin/ico) -+-. . .;

or la partie réelle et le coefficient de y/ — i dans celte expression forment deux séries convergentes (57). H en résulte que la série (i) est une fonction bien déterminée de z ; nous dirons que cette fonction est la fonction exponentielle e*, qui sera définie par l'égalité (i), quelle que soit la valeur, réelle ou imaginaire, de ;:.

l48 COCBS D^AKÀLTSE.

De même nous avons, dans le cas où z est réel,

COSZ =1 f-

ces séries sont toujours convergentes quand on donne à z des valeurs réelles ou imaginaires quelconques : elles représentent donc des fonctions bien déterminées de z : nous convenons de désigner ces fonctions parsin^ et cos^.

157. Les fonctions e^j sinz, cosz sont définies d^une manière très générale et très naturelle, mais il est nécessaire de chercher si elles jouissent toujours des propriétés qui les caractérisent dans le cas où z est réel. Considérons la fonction exponentielle : une de ses propriétés essentielles est exprimée par la relation

(3) e'ey=e'-*-y;

quand x ely sont réels, cette égalité revient à la suivante :

celte relation étant vérifiée pour des valeurs réelles quelconques de X ety est une identité; elle continuera d'être satisfaite si Ton donne k x et y des valeurs imaginaires quelconques; il en résulte, en se reportant à l'équation de définition (i), que la relation (3) est absolument générale.

A l'égard des fonctions circulaires, il résulte des égalités (2), qui les définissent, que Ton a, comme pour les variables réelles,

sin( — ^)= — sin^, cos( — 5) = cos-s.

ONZIÈME LEÇON. l49

Euler a fait connaître une relation extrêmement importante qui existe entre les exponentielles et les fonclions circulaires : si, dans Tidentité (i), je change ;; en

,: y' — I , il vient

.-%^rT , . -g/^ -»• z^^f^i z^

ou bien

{\) €-^'^= C03-5-+- / — isin^,

quelle que soit la variable z] si, dans cette relation, je change z en — z, il viendra

(5) c--*'-i=cosz — / — isinz.

£n combinant les égalités (4) et (5) par addition et soustraction, on trouve

(d) cos.5 = > sin^ = —s^ >

et ces formules sont absolument générales, comme lïdentité d'où nous sommes partis.

158. Je dis encore que les formules fondamentales de la Trigonométrie s'étendent aux fonctions de variables imaginaires. En effet, les identités (3) et (4) nous donnent

cos( j? -i-y) -+• yj — I sin(iF -h^)

= (cosa7-f- v/ — I sin a?) ( cos^ -h ^ — isin/) OU, en effectuant le produit,

!cos(j: 4-^) -H \J — I siii(a7 -t-^) = cosar cos^ — sin a? sin^ -\- / — I (sinar cos^ -h sinj^ cosar).

Si .r et ^ étaient réels, il suffirait d'égaler les parties réelles et les coefficients de ^ — i pour obtenir les for-

l5o COURS D^AITJILTSE.

mules relatives à l'addition des arcs; mais ici nous remplacerons, dans l'équation (^), x ely par — x el — y\ il vient

= cosa? cos^ — sina: sin^ — v/— I ( sin X co%y -+- cos x siny) ;

il suffit de combiner cette identité avec l'identité (7) pour en déduire la généralisation des formules fondamentales de la Trigonométrie

cos (a? -h^) = cos a? cosj^ — sin a? sin^, sin(a? 4- j') = sin a? cos^ -\- sin^ cos a:.

Remarquons enfin que les identités (6) nous donnent

cosl^ary — 1; = j ^\Vk\x\J — 1; = y — i;

quand x est réel, les fonctions^ (e^ie"^) sont désignées sous le nom de cosinus et sinus hyperboliques de X,

Les fonctions tang^, cot^ sont définies comme quotients de sin 2 par cos 2 ou de cos 2 par sinz; leur expression est une conséquence des résultats précédents.

DÉFINITION DE \z ET DE Z"^.

1S9. Le Jogarithme népérien d'une quantité réelle z est l'exposant de la puissance de e qui est égale à ;*; par analogie, si l'on donne à z une valeur imaginaire de la

forme a -^ b\ — i ou p(cosci) + y — i sino) ), nous conviendrons de désigner par Iz une expression u H- sp\! — 1 , telle qu'on ait

(8) e'^^v>r^^ p(cosù)-t-/^sinti)).

Il s'agit de déterminer u et v^ que nous supposons

OIVZIÈME LEÇON. l5l

réels : le premier membre de réquation (8) peut s'écrire

^„4-vvc:i__ cwc»'^^^ e"(cosp-+- /^sinp);

si donc on égale les parties réelles des deux membres et les coeflicients de \' — i , on aura

(9) «"cosç» = p coso), c^sinc = p sinco;

élevant au carré et ajoutant membre à membre, on trouve

e« et p ont leurs carrés égaux ; étant eux-mêmes réels et positifs, ils sont égaux, et u est le logarithme népérien

arithmétique de p ou de y/a--t-6*; les équations (9) donnent alors

cosr = coso), î\nv = sino), i> = co -i- aXric, k étant un entier quelconque, et l'on a finalement

(10) 1-5 = l[p(cosa> -4-v' — isino))] = Ip -4- (to -+- a^i:)/ — i,

Ip étant une valeur arithmétique.

Ainsi Iz a une infinité de déterminations, ce qui en fait une fonction essentiellement différente des fonctions rationnelles, exponentielles ou circulaires. Toutefois, soit Zo une valeur de >3 : si Ton adopte une valeur de k qui détermine la valeur de \zq, et si Ton fait varier z d'une manière continue à partir de Zq^ \z variera d'une manière continue que l'on pourra suivre, et, quand on sera arrivé à une certaine valeur de Zj il n'y aura plus d'ambiguïté sur la valeur de son logarithme.

Quand z est réel et positif, son argument co est nul, \z a une détermination réelle, qui est le logarithme arithmétique, et une infinité de valeurs imaginaires.

i52 COURS d'analyse.

160. Comme nous avons toujours z = e**, nous définirons d'une manière générale la fonction z^ par l'égalité

nous savons déterminer la valeur ou plutôt les valeurs du second membre, quels que soient m et z. Si m est

réel et z égal à p(cosa> -f- \l — isino)), on a

= p'»[cosm((o -4- ikiz)-^ y — isin/n((o -h 2A:7t;J,

le module p"* étant un nombre déterminé. Quand m est un nombre entier, le second membre a toujours la même valeur, quel que soit k\ si, au contraire, m est égal à

une fraction irréductible -> ^"* aura a déterminations

qu'on peut obtenir en donnant successivement à k les valeurs o, i , 2, 3, . . . , g' — i. En effet, pour deux valeurs A^ et k' de k comprises dans cette suite, la différence

ip{k'—k'')-K

des arguments de z^ ne peut être un multiple de 2 7r, puisque q est premier diyQC p et supérieur à k' — Â*''; les valeurs de z'^ seront donc distinctes; d'autre part, une valeur quelconque de k non comprise dans la suite o, 1, 2, ••.,^ — I est égale à un nombre k' de cette suite augmenté d'un multiple nq^ positif ou négatif, de q ; l'argument correspondant de z"^ est

et la valeur de z^ coïncide avec l'une de celles que nous avions d'abord obtenues.

En particulier, nous obtiendrons les racines ^»''"«« de

l'unité en faisant /w=> o = i, a> = o dans l'équa-

lion (lo):

U I = cos h V — 1 sm •

De même que pour Iz, si Ton adopte une certaine détermination de z^ pour 5 = ^oî la continuité déterminera ensuite les variations de z^ quand on fera varier z à partir de Jq-