DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

161. La dérivée f\z) d'une fonction f{z) se définit exactement de la même manière quand la variable est imaginaire et quand elle est réelle ; c'est toujours la limite vers laquelle tend le rapport

quand Az tend vers zéro; la différentielle de/(:;) est toujours /'(:?) rfc.

Les règles du Calcul algébrique s^étendant aux quantités imaginaires, les résultats obtenus dans la différentiation des fonctions algébriques n'ont à subir aucune modiOcation quand la variable devient imaginaire. Il en est de même pour les fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires; on peut se rendre compte, en effet, que le calcul des dérivées de ces fonctions est

fondé sur ce que les rapports — , — et — — tendent vers

Funité quand h tend vers zéro; or la définition de e^ et de sin/i montre que ces rapports ont la même limite quand h n'est plus réel. Et il résulte de ce qui précède que les fonctions élémentaires ont toujours des dérivées bien déterminées.

iS4 COURS d'analyse.

SI z est égal à x -^ysj — i , on peut dire que/'(z) est la limite du rapport

Lx -f - tiy y/— I

quand b^x et Ly tendent vers zéro ; l'identité de ce rapport avec la fraction (i) prouve qu'au moins avec les fonctions élémentaires cette limite est la même, quel que soit le rapport de A^ à Aj? ; mais il peut en être tout autrement pour certaines fonctions transcendantes, qui n'ont plus alors de dérivée déterminée.

Quand /'(^) est déterminé, les dérivées partielles de /(s) par rapport à a: et à y s'obtiennent simplement par la règle relative aux fonctions de fonction :

EXERCICES

i. Trouver la différentielle de

y — 1 (cosx -+- /— I sinx).

Solution.

dy =^ ^ — I djc,