Î.UE PARTIE. CHAP. X

inférieure quelle ne dépassera jamais. Représentons par A cette limite , et par u0, va un des systèmes de valeurs finies de u et de v, pour lesquels F[u, v) së réduit h A , en sorte qu’on ait identiquement

(10) F(uoy v„) — A.

La différence F(ii, v)—F(u0 , vn) ne s’abaissera jamais au-dessous de zéro; par conséquent, si l’on fait

(11) u — no -+■ CL h , V .= Vv -4- OU k ,

cl désignant une quantité infiniment petite, èt H, k deux quantités finies, l’expression

F(u0-i- h , va-+- cl k) — F{u0, t>„)

ne sera jamais négative. En partant de ce principe, il sera facile de déterminer la valeur de la constante A , ainsi qu’on va le faire voir.

Si dans l’expression imaginaire ■/—'') on

substitue pour u et v leurs valeurs données par les formules (i i), cette expression, devenant alors une fonction imaginaire et entière du produit

cl \ h — 4— k j/1 — i ) ,

pourra être développée suivant les puissances entières et ascendantes de ce même produit. En désignant par ,

R (cos. 7V/-r sin. / ) , Rt (cos. sin. T*,) ,

......... R„ (cos. T„ -+- sin. 7’. '

nj *

les coefficiens imaginaires de ces puissances dont quelques-uns peuvent se réduire à zéro, et faisant

pour plus de commodité

336 • cours d’analyse.

(12) h -+- X.'|/— 1 =y>(cos.ô -+- j/—i »in.6j , w

ou obtiendra l’équation

/[«o4-«ov/ — — i )] — a (cos.r-^/r: sin. 73 + [cos. (T, -+- 6 ) -+- y/ — 1 sin. ( T, -+- 0) ] -t- ,.i

• ••+*” J3" [cos. (T*,, "+" "6) ■+••(/— 1 sin. (T3, •+■ n0) ] *

dans laquelle les termes du second membre , et par conséquent les modules

ne sauraient s’évanouir tous en' même temps. Comme on aura d’ailleurs

/[*o + *A + [l»oH-*^)./^ï]

( sai<p(u0-ha.h,v„-i-ei/t)-i- y^ZT, X («„+«L»4+^)t

on conclura de 1 équation (13)

<p (u„ -+- ath , = R cos, T-+-U.R, J>pos.(T ,-4-0)-»-...

.... -+- ttn Rn j>" cos. ( Tn -+- n 6 )

X {u0-heLh,v0^-a./i) = ftsiu.T-ha.R, j>sin.(7'I-»-0)-4-...

“H sin.^-t-ne)}

et par suite

!F (u0-+-cLh,v0-\-<tk)

— [iîcos.7’-4-a/îI c><'o*.(T’1-4-6)-t-M.-+-«t"7fn p"c03.(7’Il-f-»ô)]1 -4-[/îsin.r-h*Æ1<psin.(ri-hG)-H...-t-«"iïnJ>"*in.(r|1-+-n$)J1.

Si dans cette dernière formule on pose ol= o, on en tirera

F{uot v0 ) = R\

Donc R1— A , R — A1. Si maintenant on déve-