I.*1 PARTIE. CIIAP. X
loppe le second membre de lequation (16) suivant les puissances descendantes de R, et que l’on y rem-
place ensuite R par A 2 , cette équation deviendra
(17) F(ua-t-d.h, v0-hcck) =
jr * ' l»
a+ia 7 *j> [ÆIcoS:(r,-r+e)+...+*"-kj5’,-,Æ„cos.(r„-7;-+ne)]
, ,x| [/?, cos.(T,-h9) j>n~‘Fllcoa.(TM-hn^)
i -*- [#. siD.(r,-t-9) j >"~'Rn sia. (T„+nQ)]* j *
et , si l’on fait passer dans k premier membre la quantité A—F(iev, v0), on trouvera définitivement
(18) F(u„ -t-*A,i>0-+-£tA) — F(u0,vc) =
iA 1 * j> [ Rtcoa.{Tl-T-h^) -4- ... -h *n- V’ R ncot. {T K-T-+i$ ) ] * y „ I [*-c03-(r >8) co..( r.+«e)p )
Cela posé , puisque la différence
F(n0 -*-cLh, va -h ce A) — F(u0, v0)
ne doit jamais s’abaisser au-dessous de la limite zéro , il faudra de toute nécessité que , pour de trèspetites valeurs numériques de et, le second membre de l’équation précédente , et par suite le premier terme de ce second membre, c’est-à-dire, le terme qui renferme la plus petite puissance de et, ne puisse devenir négatif. Or, en désignant par Rm la première des quantités
, .... Rn p ,
TOil. 1 . y
COURS D AN ALYSE.
qui obtient une valeur differente de zéro , on trouvera pour le terme dont il s’agit
si A n’est pas nul , et
* / lim
dans l’hypothèse contraire. De plus, comme, la < valeur de l’arc Ô étant tout-à-fait indéterminée , ou peut en disposer de manière à donner au facteur
co., ( T„ — T+m6),
et par conséquent , au produit
2 A 1 ctmfm Rm cos. ( Tm— T-+- m ô )
tel signe que l’on voudra, il est clair que la seconde hypothèse reste seule admissible. On aura donc nécessairement
(19) : A — o ; ce qui réduira l’équation (10) à
Il en résulte que la fonction F(ti, v) s’évanouira si l’on attribue aux variables u, v les valeurs réelles tiu , vu ; et, par suite, que l’on vérifiera l’équation
en prenant . 1 ■. g..:.*
x = uu h- v0 -/-i .
En d’autres termes , ua -+- vQ j/~ sera une racine de lequation
La démonstration précédente du théorème i.or, quoique différente en plusieurs points de celle qu’en a donnée M. Legendre [ Théorie des Nombres, I.rePart. g. XIV], est fondée sur les mêmes principes.
Corollaire. Le polynôme
f{jr) = a0.vn -+- at x"~'- a„t. v -+- a„ ,
s’évanouissant, ainsi qu’on vient de le dire, pour
X — U. -H l\ ÿ'-éi ,
sera, en vertu du 1 .er théorème [chap. VIII, 5- 4] > algébriquement divisible par le facteur
x — «0 — .voy-i.
Le quotient, ne pouvant être qu’un nouveau polynôme du degré n — i par rapport à x , sera encore nécessairement divisible par un nouveau facteur de même forme que le précédent, c’est-à-dire, du premier degré par rapport à x. Désignons par
ce nouveau facteur. Le polynôme f{x) sera équivalent au produit des deux facteurs
x — ua— , x — u,— V.-/-T .
par un troisième polynôme du degré n — 2. On
prouvera que ce troisième polynôme est divisible par un troisième facteur semblable au* deux autres; et en continuant à opérer de la même manière , on finira par obtenir n facteurs linéaires du polynôme f(x). Soient respectivement
•r — uo — vo y/— « > *— v, f—i
ces mêmes facteurs. En divisant le polynôme f(x) par leur produit, on trouvera pour quotient une constante évidemment égale au coefficient aa de la plus haute puissance de x dans ,f(x). On aura en conséquence
(i i) f(x) — aa(x-u0—v0 y/~)(x~u , /T7 ) . . . (.r u y^T, ) ■
Cette dernière équation renferme un théorème que l’on peut énoncer ainsi qu’il suit.
2.e Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires des constantes aot a. , .... an x , an , le poli) nome
sera équivalent au produit de la constante par n facteurs linéaires de la forme
x — et — (d l/— ' .
Déterminer les facteurs dont il est ici question , c’est ce qu’on appelle décomposer le polynôme /Y.r) en ses facteurs linéaires. Il n’y a qu’une seule ma-
nièrc d’effectuer cette décomposition. Pour le démontrer, supposons que deux méthodes différentes aient foui’ni les deux équations
I/(x) = a o (x — uo—v0ÿ'~)* (x — u, —V, x ...
On en tirera
(x— <*„— C<,v/— ■) (x—ct—ç yr;)...(x—
= (x— uc— voV/i) (*— « ,— î> ,y/— i ) . . . (x— x ) .
Le dernier membre de la formule précédente s'évanouissant lorsqu’on attribue à la variable x la valeur particulière uo->r-vay1'— i, il faudra de toute nécessité que , pour cette même valeur de x, le premier membre , et par conséquent l’un de ses facteurs [voyez le chap. VII, §. 2 , y.e théorème, ’coroll. 2] se réduise à zéro. Soit
