I.“ PARTIE. CHAR. X

des valeurs réelles de u et de v propres à faire évanouir la fonction ..

On y parviendra sans peine à l’aide des considérations suivantes.

D’abord , pour déterminer la valeur générale de la fonction F(u, v ) , on représentera chacune des constantes -réelles ou imaginaires a0 , a:, ... , an,

ainsi que la variable imaginaire , par le

produit d’un module et d’une expression réduite; et l’on écrira en conséquence

Oo = J’o(cos.0o-+->/, »in.0o), o.s^.Ccos.O.-fy—. sin.ÇJ..^

(o) U -+- V ÿ— i = T (cos. t -+• }/— i »in. t ).

On aura par suite

f{u -+-») yC^) — Po r " [cos.(n<-f-0o)-fy i

-f* j>1r*‘"I[cos.(«— i . /-h0 1 )-+*yr —i i - 0 ») î

-+-jJ„(cos. 6„-l-y'-^rsin.e,); :• i

et l’on en déduira

p (u , v) = ,p0 r" cos.(n/ 4- 0O) , r*-1 cos.(n — i .Î4-0,

... -H J»,-. ^ cos- (t -h 0„, ) 4- j5s cos. 0„ , X(u,v) sst j>i r” sin. (n/4-0u) -+- J>, r"-1 sin.(ra— i . t4-0,)4~ ... -+-J>n~, r»w».(* 4-0,.,, wn .0,;

354 cours d’analysê.

>s.(n/-t-J!,)-f-j>1r“-,cos.(n — i . i *

' ■+" -Pit-t rco».((-i-0,') + j>n c<fe.0„) ,

i.(«t-+-0o)-H</>Ir““,sin.(n— i . r-l- 0 , j-4- ... )*

-H j?,, T sin. (t -+- 6n, j -+- J>B sin. 9n )

Il résulte de cette dernière formule qiie la fondation F [a, i»), toujours évidemment positive, est le produit de deux facteurs, ddnt l’un , savoir,

croîtra indéfiniment si i on attribue aux variables u , v ou à l’une d’elles seulement des valeurs numériques de plus en plus grandes, tandis que l’autre facteur convergera dans la même hypothèse vers la limite f0x, c’est-à-dire, vers une limite finie différente’ de zéro. On en conclura que là fonction F(u, v ) ne peut conserver une valeur finie qu’alitant que les deux quantités ti , v reçoivent elles- mêmes dès valeurs de cette espèce , et devient infiniment grande dès que l’une des deux quantités croit indéfiniment. De plus, comme l’équation (4) donne pour F(u, v ) une fonction entière et par conséquent une fonction continue des variables u et v , il est clair que j F {il, v), variant avec elles par degrés insensibles , et ne pouvant s’abaisser au-dessous de zéro , atteindra une ou plusieurs fois une certaine limite

- Jo J>, ros. (f Bp — 9, ) r

-+- 2 j>„ cos. 8J