X — CL

le facteur dont il. s’agit. On aura identiquement *-0 -+■ 6. /-T ,

et par suite

x — ol0 — 6„ |/-i — x — u„ — /-T.

Cela posé, la formule (23) pourra être remplacée par la suivante

342 cours d’analyse.

(.r — <l, — C, /-■) . . . {x— <tn t — ■/-')

— ix—u, — v, /-■)... (x—u„,

Le second membre de celle-ci s’évanouissant lorsqu’on suppose

l’un des facteurs du premier membre , par exemple »

.3" — et, —

devra s’évanouir dans la même hypothèse; ce qui entrainera deux nouvelles équations identiques de la .forme

et, ■+■ C, r, — i ,

En répétant plusieurs fois le même raisonnement, on prouvçra que les diiferens facteurs linéaires dont se composent les seconds membres des équations (22) sont absolument les mêmes dans l’une et l’autre équation. Il est essentiel d'ajouter que chaque facteur imaginaire de la forme

x — CL — t> ]/— 1

se change en un facteur réel x — a , toutes les fois que la quantité £ se réduit à zéro.

Le premier membre de l'équation (i), étant, d’après ce qu’on vient de dire, décomposable d’une seule manière en facteurs linéaires, ne peut s’évanouir qu’avec l’un de ces facteurs. Si donc on les

égale successivement à zéro , on obtiendra toutes les valeurs possibles de x propres à vérifier l’équation (i), c’est-à-dire, toutes les racines de cette équation. Le nombre de ces racines , comme celui des facteurs linéaires , sera égal à n. De plus , à chaque facteur réel de la forme x — <t correspondra une racine réelle et , et à chaque facteur imaginaire de la forme

X — CL — £ ]/— i

une racine imaginaire

Ct -4- £ ]/—' •

Ces remarques suffisent pour établir la proposition suivante.

3.e Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes

, «„ ; l’équation

(1) a0x” -+-a,x"~' -+- ... +a,,r+fl„ = o

a toujours n racines réelles ou imaginaires , et n’ en saurait avoir un plus grand nombre.

ïi peut arriver que plusieurs des racines de 1 équation (i) soient égales entre elles. Dans ce cas, le nombre des valeurs différentes de la variable propres à vérifier cette même équation devient nécessairement inférieur à n. Ainsi, par exemple, 1 équation du second degré

x 1 — 2Æ.r + ax = o

ayant ses deux racines égales, on ne pourra y satis-

34 { COURS d’analyse.

faire que par une seule valeur de x t savoir,

Lorsque les constantes a0 , a, , .... an t , an sont toutes réelles, l’expression imaginaire

du -+- £> ■

ne peut évidemment être une racine de l’équation (1), sans que l’expression conjuguée

du — £ ]/— i

soit une autre racine de la même équation. Par conséquent, dans cette hypothèse, les facteurs imaginaires et linéaires du polynôme qui forme le premier membre de l’équation (i) sont deux à deux conjugués, et de la forme

x — CL — ÉV-T, X — ce. -4-

Lé produit de deux semblables facteurs étant un polynôme réel du second degré, savoir,

on déduit immédiatement de l’observation qu’on vient de faire le théorème suivant.

4.e Théorème. Lorsque aof a, , ... an, , an désignent des constantes réelles , le polynôme

(a4) x* -+■ a, .v"-' -t- ... x -t- an

est décomposable 'en facteurs réels du premier ou du second degré.

Dans ce qui précède, nous avons présenté les

racines imaginaires de I équation (i) sons la forme

\ et zt £ Y~ i.

Alors, pour le polynôme (24), un facteur réel du second degré correspondant à deux racines imaginaires conjuguées

cl -+- £ j/— i , et — £ y — 1 ,

était de la forme

(x — et)* £\

Si l’on fuit, pour plus de commodité,

et ± £ /-T = f ( COS. 0 ± y — 1 s>n- 9) *

[f désignant une quantité positive, et 9 un angle que l’on pourra supposer compris entre les limites o , 7r], le même facteur réel du second degré deviendra

(x — f cos.0)* -f- (^sin.0)*

= X1 — 2f X cos. 0 Y ■

Il est facile de construire géométriquement cette dernière expression dans le cas où l’on attribue à la variable x une valeur réelle. En effet , si l’on trace un triangle dans lequel un angle soit égal à 0, les deux côtés adjacens étant respectivement représentés l’un par la valeur numérique de x, l’autre par le module f , le carré du troisième côté sera [ d’après un théorème connu de trigonométrie ] la valeur du trinôme

x * — 2 y- x cos.

toutes lus fois que la variable x sera positive. Si la variable x devient négative, il suffira de remplacer dans la construction indiquée l’angle ô par son supplément.

Le troisième coté du triangle dont il est ici question ne peut s’évanouir que dans le cas où les deux premiers cotés tombent sur une même droite, et où leurs extrémités, coïncident,- ce qui exige, i .“ que l’angle Ô se réduise à zéro ou à tt, 2." que la valeur numérique de x soit égale à j>. Par suite, le facteur

x1 — 2 f X cos. Ô -+-/1

ne pourra devenir nui pour une valeur réelle de x , à moins que l’on ne suppose

cos. ô = i, ou cos. 9 = — i ;

et la seule valeur de x propre à faire évanouir ce

facteur sera , dans la première hypothèse ,

dans la seconde ,

On arriverait directement au même but en observant que l’équation

X% — 2 fX cos. ô -+- — O

a deux racines ■ ,

ÿ (cos.ô-t-j/ —i sin. ô) , J> (cos. 6 — j/— i sin. ô) ,

qui ne peuvent cesser d être imaginaires sans devenir

égales, et que les seules valeurs de ô capables de produire cet effet sont celles qui vérifient la formule

sin. 9=0,

de laquelle on tire

cos. 6 = db i , et par conséquent

pour la valeur commune des deux racines.

Jusqu’à présent, nous nous sommes bornés à déterminer le nombre des racines de l’équation (i), avec la forme de ces mêmes racines et celle des facteurs qui leur correspondent. Nous- allons , dans les paragraphes suivans, passer en revue quelques cas particuliers dans lesquels on est parvenu à résoudre de semblables équations, sans être obligé de concevoir leurs coefficiens convertis en nombres , et à exprimer les racines en fonctions algébriques ou trigonométriques de ces coefficiens. Nous observerons ici à ce sujet que , dans toute équation algébrique dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière de la variable x , on peut réduire par la division le coefficient de la plus haute puissance de x à l’unité , et celui de la puissance immédiatement inférieure à zéro par un changement de variable. En effet, si dans l'équation

a0xn-+- a. x”~‘ -+- ... -h- an, x -an =. o a, n’est pas égal à i , il suffira de diviser l’équation

318 cours d’analyse.

]>ar aD pour réduire le coefficient de x* à l’unité ; et, si dans une équation mise sous la forme

•A’ i Ot Xn ' -+- ... -t— Cln, X -+- Cl n 3^; O

a, n’est pas nul , il suffira de poser x — z —

pour obtenir une transformée en z du degré n , qui n’ait plus de second terme , c’est-à-dire , une transformée dans laquelle le coefficient de zn~' s’éva- . nouisse*

J. 2.* Ré solution algébrique ou trigonométrique des Equations binômes et de quelques Equations tri~ nomes. Théorèmes de Moivre et de Cotes.

Considérons l'équation binôme

(1) xn -t-p = o ,

p désignant une quantité constante. On en tii'era xn — —p,

ou , si l’on désigne par f la valeur numérique de p ,

On aura donc à résoudre l’équation

si — p est positif , et la suivante