I..BC PARTIE. C II A P. X. o
.(3) xn = -f,
si — p est négatif. On satisfait à la première en prenant
et à la seconde en prenant
(s) *=<hf =/:«— ))■•
Quant aux diverses valeurs de chacune des deux
expressions (( 1 )) " , (( — 1 )) " , elles sont toujoui's en nombre égal àn [ voyez ie chapitre VII , §. 3 ] , et se déduisent des deux formules
2 kir . / — , z kir
cos. zir t/~ i sin. ,
n f ri
(îX-M)t . , . (2&4-1K
cos. — dt y— 1 sin. — - — ,
Tl ' . fl
dans lesquelles il suffît d’attribuer successivement à k toutes les valeurs entières qui ne surpassent pas
— . Lorsque n est un nombre pair , la première des
équations (6) fournit deux valeurs réelles de ((1)) , savoir, -+- 1 et — 1 , correspondantes l’une à k— o,
l’autre à k — — . Dans la même hypothèse, toutes les valeurs de (( — 1))" sont imaginaires. Lorsque n
devient un nombre impair, l’expression (( 1 )) “ a une. seule valeur réelle -t- 1 correspondante à k = o ,
cours d’analyse.-
et l’expression (( — i))" une seule valeur réelle — i Correspondante à k — ' - . Par suite 1 équation
(i) admet deux racines réelles, ou n’en admet aucune, lorsque n est un nombre pair, et la même équation admet une seule racine réelle dans le cas contraire. De plus, on reconnaît immédiatement à I inspection des formules (6) que les racines imaginaires sont conjuguées deux à deux , ainsi qu’on devait s’y attendre.
Considérons maintenant l’équation trinôme
(7) xxn -i-px" -+- q — o ,
p , q désignant deux quantités constantes choisies à volonté. On en tirera
xxn p x" = — q ,
et par suite
Si — q est positif, l’équation qui précède entraînera l’une des deux suivantes -
en sorte que xn admettra deux valeurs réelles comprises dans la formule
Lorsque le nombre n se réduit à l’unité, la formule (9) fournit immédiatement les deux racines réelles
de l’équation trinôme du second degré
Dans le cas contraire, en substituant la formule dont il s’agit à l’équation (y), on n’a plus à résout! ré que deux équations binômes semblables à celles que nous avons traitées ci-dessus.
Supposons maintenant la quantité — q néga-
tive. L’équation (8) entraînera l’une des deux suivantes
en sorte que x" admettra deux valeurs imaginaires comprises dans la formule
Si le nombre n se réduit à l’unité, cesv valeurs seront les racines imaginaires de lcquation (10). Mais, si l’on suppose n> 1 , il restera encore à déduire des valeurs connues de xn les valeurs de x. Désignons par f, daiis cette hypothèse, le module de l’expression imaginaire qui' sert de second membre à la formule (11). On aura évidemment
£ = arç tang.
Faisons en outre , pour plus de commodité ,
Lorsque p sera négatif, les deux valeurs de x” don* nées par la formule (11) deviendront
04) ■Zn=f(cos. £± |/^7 sin. £) ,
et l’on en conclura
Si au contraire p est positif, on trouvera
(16) xn = —ÿ ( cos. £ dr y/—i gin. Q >
et par suite
(17) x~r [cos. ± /-T gi„. 1J(( l'jj’" ,
Dans le cas particulier où l’on a p1
{ devient nul ; en sorte que les équations (15) et O7) prennent la forme des équations (4) et (5).
Si l’on désigne, pour abréger, f " par* r, on tirera des équations (12) et (13), en supposant la quantité p négative ,
p — — 2 rn cos. q — rin ,
x 1 " -t-pj r" -y-q — .v*n — zrn xn cos. £ -+- r*
Dans la même hypothèse, la formule (î 5) donnera
X = r ( cos. ~± y — 1 su». —J ( cos. — - arjA-i s»n. — — 1
/ {±xk-x . — . •
— ;• ^cos. ± sm. — J ,
k représentant un nombre entier; et l’on en conclura que le trinôme
x1" — 2 r" x” cos. £ -t- r'in
est décomposable en facteurs réels du second degré de la forme
- x —2 rx cos. — -+- r .
Si l’on suppose au contraire la quantité p positive, le trinôme xin -+-pxn -t- q deviendra
x1" 2 r" x" cos. Ç -+- rln ,
et ses facteurs réels du second degré seront de la forme
x — - 2 rx cos.
Dans l’une et l’autre hypothèse , on pourra construire géométriquement les facteurs réels du second degré par la méthode ci-dçssus indiquée. [ voyez le §. i.*r], toutes les' fois que l’on attribuera des valeurs réelles à la variable x. Si l’on prend la valeur TOM. 1 . z
354 touhS D>N A-LYS F.,
numérique de éette variable pour base commune de tous les triangles qui correspondent aux différons facteurs, et que dans chaque triangle on fasse aboutir Constamment à une même extrémité de cette base le côté connu f représenté par r, on trouvera que les sommetè des divers triangles coïncident avec les points de division d’une circonférence décrite du rayon r en parties égales. Il en résulte que , si l ou multiplie entre eux les carrés des lignes menées de la seconde extrémité de la base aux points dont il s’agit, le produit de ces carrés sera la valeur du
trinôme
x™ ■+- p xn -+■ q =± xin± irnxn cos. £•+■ rin.
Dans le cas particulier où £= o , le produit des lignes elles-mêmes représente la valeur numérique du binôme
xn ± r*,
laquelle se confond avec la racine carrée positive > du trinôme
x1” ± i r" xn rtn.
Des deux propositions qu’on vient d énoncer , la première est le théorème de Montre, et la seconde celui de Cotes.
C. 3.‘ Résolution algébrique ou Irigonomelrique des Équations du troisième et du quatrième aegre. .
Considérons l’équation générale du troisième
degré. On pourra toujours , en faisant disparaître ie second terme de cette équation , la ramener à la forme v ,
(1) x* -*-px q — o ,
p, q désignant' deux quantités constantes. D’ailleurs, si l’on pose
u, v étant deux nouvelles variables, on en conclura
JC* = (</-+- v)* = tt3-+- V*-+- X ,
(2) ’ X* — 3 UV.X — (il* -i-V*') — O.
Pour rendre l’équation (2) identique avec la proposée , il subira d’assujettir les inconnues u et v aux deux conditions
(4) uv = — j-
La résolution de l’équation (1) se trouve ainsi réduite à la résolution simultanée des équations (3) et (4).
Cherchons d’abord les valeurs de u* et de ù*. Si l’on fait
(5) n* = ziy v* = 2, ,
on aura, en vertu des équations (3) et (4) ,
zx —~q , zlzx^ — £^:
et par suite , en nommant z' une nouvelle variable ,
{JOURS d’analyse.
) \z — zx) — z -y- q z — -^r •
Il en résulte que z, , zx seront les deux racines de {équation
Ces deux racines étant connues , on déduira des formules (5) trois valeurs de u et trois valeurs de v , qui se correspondront deux à deux de manière à vérifier la formule (4). Soit U l’une quelconque des trois valeurs de u , et V la Valeur correspondante de Vf en sorte qu’on ait
UV = -^~.
Désignons en outre par et l’expression imaginaire
cos. - •+- 1/— i sin. :
les trois valeurs de l’expression ((1)) ’ seront respectivement \ ■ ' f ■ . ‘
î TT . — r . ï TT I J •*
et = co«. — — -+- v— i.»m. 4-+- = H — —
et — cos. v— 1 sin. — —
et les trois valeurs de u, évidemment comprises dans la formule générale (()))* U, deviendront U , CL U , cl1 U.
On trouvera pour les valeurs correspondantes de v
ou , ce qui revient au même ,
V, <C V , cL V'.
Par conséquent , si l’on nomme x9 , x, , xx les trois racines de l’équation (i), on aura
(7) < x, — cl U -+• ce1 V ,
[ xt = ce1 U -+- cl V.
11 est essentiel d’observer que, U, et U , et1 U étant
les trois valeurs de « = ((s,))} , et V, cl' V, clV
les valeurs correspondantes de v =. les
JMT .
racines x0, x, , xx , déterminées par les équations (7) , seront respectivement égales aux trois valeurs de x données par la formule
Lorsque l’équation (6) a ses racines réelles, les formules (5) fournissent un système de vftleurs réelles de u et de v qui se correspondent de manière à vérifier l’équation (4). Si l’on prend ces mêmes valeurs pour U et V , on reconnaîtra immédiatement que des trois racines x0 , x, y x x la première est nécessai-
358 COURS d’analyse.
rc ment réelle , et les deux autres réelles ou imaginaires, suivant que la quantité
est nulle ou positive, c’est-à-dire, suivant que l’équation (6) a ses racines égales ou inégales. Dans le premier cas, on trouve
x0 — iU , r, = . r , = — U.
Lorsqfie les racines de l’équation (6) deviennent imaginaires , on peut les présenter sous la forme
: y^cos.ô-H j/— i sin.G) , — f(co S.0 — j/— i sin.Ô) ,
le module f étant déterminé par l’équation
Comme on a, dans cette hypothèse,
((~.))7 =/7 (cos- f-*-/-' sin- y) ((0)T*
la formule (8) se trouve réduite à
De plus, en prenant pour U l'expression imaginaire
f ~ (cos. y -+- V~~x sin* y) »
on conclura des équations (7)
■x0 = 2f > COS. J ,
X, ==5 if i CQ3. ,
i g IT
X% — 2. J> > cos. .
Ces trois dernières valeurs de x sont toutes réelles , et coïncident avec celles que fournit la formule (9).
Dans les calculs précédons , i équation (6) , dont la solution entraîne celle de l’équation (1), est ce qu’on appelle la réduite. Ses racines z, , zx équivalent nécessairement à certaines fonctions des racines *
cherchées .r0, x,,.xx. Pour déterminer ces fonctions, il suffira d’observer que, U et V désignant des valeurs particulières de u et v, on aura, en vertu des formules (5) ,
Oii tire d’ailleurs des équations (7)
3 U — xa -4-ax, -t— JT, ss a. (x x et. x , +n‘i,,)
= et* (x, -+- a x„ -+- a.1 xx) ,
3 r= i. + ai, + «J r, — ce (jr, « sx -+- et* *„)
= a-1 (x, h- cl x0 -4- ce1 x, ).
On trouvera donc par suite
17 î, = (x„ -+- ce xx -+- «* i,)’ = (xx -+- a. x, -t-a*
== ( X , -I- <*■ XQ -+- ce* xx ) ’ ,
j 27 zx = (*„ -f-cex, -3- ce2 x,)* =x (x, -+- et x, +,a; ^r0 ) 5 ( = -4- ce* x,)>.
360 COURS d’analyse.
Il en résulte que z, , z, sont respectivement égales [ à un coellîcient numérique près ] aux deux seules valeurs distinctes que présente le cube de la fonction linéaire
xo -+- ce x, -+- et* xx ,
lorsque dans cette fonction on échange entre elles les racines x0, x , , xt de toutes les manières possibles. Le coefficient numérique est évidemment jj ou le cube de Ja fraction j.
Considérons maintenant l’équation générale du quatrième degré. On pourra, en faisant disparaître le second terme , la ramener à la forme
(12) x' -t-px1 -+- qx -+- /• = o ,
p , q , r désignant des quantités constantes. Si I 09 pose en outre
u , v, w étant trois nouvelles variables , on en conclura
Xx = U1 -+- 1 -H U? -+- 2 (UV -i-UW VW) ,
et par suite
[,r‘ — (tt'-j-f’-i-ur)]1— ^(u'v1 +u1wx-hvxw%)+8uvw.x,
ou , ce qui revient au même ,
( — 2 (u1 -4-v1 -+- wx)x‘ — Suvw.x
| -H (u'-hv'-t-W'Y — 4 O.
Pour rendre cette dernière équation identique avec la proposée, il suffira d’assujettir les inconnues u , v , w aux conditions
l 4 (w* -+• v* iv1 ) = — 2 p ,
La résolution de l’équation (12) se trouve ainsi réduite à la résolution simultanée des équations ( 1 4)- Cherchons d’abord les valeurs de 4 4t’*>
Si l’on fait
(15) 4“*.= *,» 4vi==zx, 4u>‘ = z},
on aura, en vertu dés formules ( 1 4) »
*.•+*»-*-* 3 = — 2 p , ztzx-^zl^zxzi—px—4r,
et par suite, en nommant z une nouvelle variable ,
(s — Z,) (.2— -Z.) (z— Z}) — Zi-*-2pz%-*-{px — 4r)Z~5'1-
II en résulte que z, , zt, z} seront les trois racines de l’équation
(16) zi 2pz' -+- (jf' — 4r)z — Qt — 0 ;
et, puisque ces trois racines doivent vérifier la formule z , zxz} = q1 , on peut assurer que l’une d’elles sera positive , les deux autres étant toutes deux à- Ia-fois positives , ou négatives , ou imaginaires. Lorsqu’on aura déterminé ces mêmes racines , les deux
362 COURS p’analysf.
premières des équations (i 5) fourniront pour chacune des variables u et v doux valeurs égales au signe près. Soient
les valeurs réelles ou imaginaires dont il s’agit; et IV une quantité réelle ou une expression imaginaire déterminée par l’équation
8 U V IV = - q.
Si dans la seconde des formules (i4) on suppose u = -+- U , v = -+■ V ,
ou bien
u = — U , v — — V, on en tirera
Si l’on y fait au contraire .
ou bien
u — — U , v — -+- V , on trouvera , !
De cette manière on obtiendra pour les variables u, v, w quatre systèmes de valeurs propres à vérifier les équations (t 4); et. si l’on représente par .r., x, ,
