CHAPITRE XI

Décomposition des Fractions rationnelles.

§. l.*r Décomposition d’une Fraction rationnelle en deux autres Fractions de même espèce.

Prenons pour f{x) et F{x) deux fonctions en- . tières de la variable x.

sera ce qu’on appelle une fraction rationnelle. Si l’on désigne par m le degré de son dénominateur F(x) , l’équation

admettra m racines réelles ou imaginaires , égales ou inégales ; et si , en les supposant d’abord toutes inégales , on les représente par

■Z\> y -tC i y & i » • • • • Æm-i y

les facteurs linéaires du polynôme F(x) seront respectivement

X Xa , X X , , X X t , ... x xm l .

Cela posé , faisons

cours d’analyse.

et

cp (xe~) n 'étant pas nui , la constante A restera finie, et la différence

/O) a /(*) — dy Q)

s’évanouira pour x xs xb. Par suite fi en sera de même du polynôme

et ce poiynome sera divisible algébriquement par x — xb ; en sorte qu’on aura

(4) /(*) = ^ Cp (x) -*-(* — x,) x(*) ,

(.r) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Si l’on divise par F(x) les deux membres de cette dernière équation , en ayant égard à la formule (2), on en conclura . *

(A /(*) A , XW

Qonc , si l’on partage le polynôme F(x) en deux facteurs dont l’un soit linéaire , on pourra décomposer la fraction rationnelle -^y- en deux aufres qui aient pour dénominateurs respectifs les deux facteurs dont il s’agit, et dont la plus simple ait un numérateur constant.