I." PARTIE. C H A P. XI. 3G

Concevons maintenant que l’on partage la fonction F(x) en deux facteurs dont le premier, au lieu d etre linéaire , corresponde à plusieurs racines de lequation F(x) — o. Prenons , par exemple , pour ce premier facteur le facteur du second degré

et posons en conséquence

(6) F(x) = (x — xa) {x — x,)x<p (x).

La fraction ^ [x { conservera une valeur finie, non-

seulement pour x — xa , mais encore pour x = x, ; et, si l’on désigne par u un polynôme du premier degré qui , dans l’une et l’autre hypothèse, devienne

égal à ^ ^ , on trouvera [chapitre IV , §. i .er ] ,

/ \ u / (JJ / (*,)

''' o) "Xo-X, <P (f,)

Le polynoine u étant déterminé, comme on vient de le dire , l’équatftm

Ou

f{x) -x- uG> (.r) =±: o

Comptera parmi ses racines x0 et x, ; et par suite le polynôme

; , . ; . f(x) — uQ(x)

sera divisible pur le produit

(x — Xa) (X — X,).

On aura donc

cours d’analyse.

f(x) — « Cf) (x) = (x — x.) (x - x,) ^{x)% ,

(8) /(jc) = « <?> (.r) •+- (x-xa) (x—x.) x(x) ,

% (a-) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Si l’on divise la dernière équation par F{x) i en ayant égard à la formule (6), on en conclura

Zlfi — " .

(x-x„)(x-x,) ç>(Sj

On prouverait de même qu’il suffit de poser

(i o) • F(x) = (x—x„) (x—xx)<p(x) ,

et

P GO ‘ (ls-I,) (x„— xJ ? (X ,) ' (x,— x.) (■*,-* J

) 4~ (J-Jp) (x-X,)

pour obtenir une équation de la forme

/' (x) (x— x„) (x-x , ) (x-xj

&c Ainsi généralement, lorsque l’équation

F[x) = o n’a pas de racines égales, si l’on partage le polynôme F{x) en deux facteurs dont le premier soit le produit de plusieurs facteurs linéaires, la fraction

rationnelle sera décomposable en deux autres

fractions de même espèce qui recevront pour dénominateurs respectifs les deux facteurs ci-dessus mentionnés ; et dont la première aura un numérateur d’un degré moins élevé que son dénominateur. .

Je passe au cas où Ton suppose que I équation F(x) = o a des racines égales. Soient, dans cette seconde hypothèse , •

les diverses racines de cette même équation , et désignons par ni le nombre des racines égales à a, par ni le nombre des racines égales à b, par ni" le nqjnbre des racines égales à c , &c. ... La fonction F{x) sera équivalente au produit

• (x— a)*”' [x — by [x — c)"'” ,

ou à ce produit multiplié par un coefficient constant, et Ton aura . *.

i tu lit* * c

’ . ni -+- m -+- ni -+- etc = m.

Cela posé , faisons

et

Cp (fl) n étant pas nul , la constànte A restera finie , et la diilërence . . .

s’évanouira pour x~a. On en conclura que le polynôme

f(x)-AQ(x)

TOM. 1. Aa

est divisible par x — a, et l’on aura par suite

Xi-*) désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Enfin , si l’on divise par F(.r) les deux membres de l’équation (i 5) en ayant égard à la formule (13)* on trouvera

On démontrerait, en raisonnant de la même ma-

nière , qu’il suffit de poser

( 1 7) F(-v) = ix-aT' <p (*\ »

tf /(«) . /(»)

pour obtenir une équation de la forme

fin\ /W “ , XW

5- 2.* Décomposition d’une Fraction rationnelle , dont ■le dénominateur est le produit de plusieurs fadeurs linéaires inégaux , en fractions simples qui aient pour dénominateurs respectifs ces mêmes facteurs linéaires , et des numérateurs cons tans.

Soit

la fraction rationnelle que l’on considère, m le degré de la fonction F{x) , et

les racines de l’équation (1) F(x) = 0

supposées inégales. On aura, en désignant par k un coefficient constant ,

(2) F{x) = k (x-x.) (x—x,) . . . (x-xm t) ;

et , en vertu des principes établis dans le paragraphe qui précède , la fraction rationnelle pourra

être décomposée en deux autres, dont la première sera de la forme

’ x — xa ’

A0 représentant une constante , tandis que ta seconde aura pour dénominateur

fM

— : k (x X, ) .... ( X Xm 1 ).

Aa *

372 cours d’analyse.

En décomposant cette seconde fraction rationnelle par la même méthode ,'on obtiendra

1 une nouvelle fraction simple de la forme

2° une fraction qui aura pour dénominateur &(*—■*;>)

En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du polynôme ;

F(x) = k (x—xB) (x-x.) . . .

tous les facteurs linéaires qu’il renferme ; en sorte qu’on réduira définitivement ce polynôme à la constante k. Donc , lorsque , par une suite .de décompositions partielles semblables à celles que nous venons d’indiquer , on aura extrait de la fraction J-±±L une suite de fractions simples de la F{XY

forme

le reste ne pourra être qu’une fraction rationnelle à dénominateur constant, c’est-à-dire , une fonction entière de la variable x. En désignant par R cette fonction • entière , on trouvera

* ÆL = jRh- -A.

Il reste maintenant à savoir quelles sont 4es valeurs

des constantes

Am.,.

Ces valeurs se déduiraient sans difficulté de la méthode de décomposition indiquée dans le premier paragraphe. Mais on. parvient plus directement à leur détermination à l’aide des considérations suivantes.

Si l’on multiplie par F(.r) les deux membres de l’équation (3) , on en tirera