AM
Si dans les deux membres de cette dernière formule on fait
ta
somme
V ' 'x — x, lx — x. m~' x—
qui est évidemment *n polynôme en x divisible par x — xe , prendra la .forme ' •
Z désignant une fonction entière de z ; et Fon aura par suite
zZ.
374 cours d’analyse.
Supposons maintenant que la substitution de j+z au lieu de x dans la fonction F{x') donne généralement
(6) F[x-*-z) — F{x}-*-zFt (jr)-4-z ’ /',1(.r)-+-& c. . .
On en déduira ...
F (x.-t-z) = 2 Ft(x0) •-+- z* F \ (xa) -+- &c... ;
et Icquation (5) deviendra
f(x0-t-z) = A0[F,(x0) -4 -zFi(xm) +'&c...] + zZ.
Lorsqu’on fait dans cette dernière z= o , elle se réduit à *
et T on en conclut
On jtrouveraît par un calcul entièrement semblable *
A -H fsl F,(*0) :
/(*■) 77ÔO *
« yd 7* (*^«*-.1 )
m~l F (je 1 •
Les valeurs qu’oa vient d’obtenir pour
sont évidemment indépendantes du mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle
; d’où il résulte que cette fraction ne peut être
décomposée que d’une seule manière en fractions simples qui aient pour .dénominateurs les facteurs linéaires du polynôme F[x) avec des numérateurs constans. *
IÎ est aisé dé voir comment 1 équation (7) et la formule (3) du paragraphe précédent s’accordent entre elles. En effet, F,(x0) est ce que devient le polynôme
F. (*.) -H Z F, (*.) * &c... = = Mil
lorsqu’on y fait z = o , ou x=.x^; et par suite, si l’on pose
. (9) F(x) = (x—x0)q>{x), on aura F, ( x0 ) = ( x„) ,
Pour montrer une application des formules cidessus établies , sujvposons qu’il s’agisse de décomposer en fractions simples la fraction rationnelle
n désignant un nombre entier inférieur à m. Ou aura dans ce cas particulier
f{x) — xn, F(x) == xm— 1 , k — i 5
376 cours d’analys*. .
et , si l'on représente par h un nombre entier qui ne surpasse pas — , les diverses racines de l’équation F(jc)z=:o, toutes inégales entre elles, seront comprises dans la formule
* 2 h TT y . 2 h T
cos. zrz y—i sin.
Soit a l’une de ces racines ; et cherchons le numérateur A de la fraction simple qui a pour dénominateur jc — a. Ce numérateur sera
la valeur de F , (a) étant déterminée par l’équation F [a) zF, ( a ) -4- &c. . . .
= F{a-+-z) = (a-Ks)m — i = am — i+)B8*‘'z+&c,.. ,
et par conséquent égale à niam~' . On trouvera par suite • •
Comme on a d’ailleurs
(• ih-r . , — . \
cos- — -y-1 — J
cos. - - — ± y~\ sin. - —
. « on conclura de ce qui précède, en faisant, pour
abréger ,
[ 1 cos?20 -4- \/— 1 sin. 20 cos. 28 — y/— 1 sin. 20
X— I ITT •. 27T 2T . . 2 TT 1
x— cos. /-i gin. -r x— cos. hv— i^m. — [
m tn m m 1
cos! 48 H- V~' 8*n* 46 cos. 48 V-*-î s*n- 48
x— cos. y —1 sin. — x— cos. hv'— isin. — I
On trouverait, en raisonnant de la même manière.,
cos.0 -+- /i sio-. 9 , cos. 0 — ' sin.j
x — cos. 1/ — 1 sin. — x — cos. t-y — 1 sin. — I
cos. ^0 -+- ÿ'^î sin. 50 cos. 50 — - /^ï «in. }0
i" / — ia ' i” i — ^
x— cos. o1—, sin.— x— cos. - — 5-/ZT,sin. — *
Il est essentiel d’observer que la dernière des fractions simples comprises dans le second membre de l’équation (i 2) ou (1 3) sera , pour des valeurs paires de m, s’il s’agit de l’équation (12), et pour des valeurs impaires de fn, s’il s’agit de l'équation (13) ,
cos. m 0
cos. (n -t- i)x U
Ainsi , par exemple, on aura
(*4) 7TT7 = 1 (^zr; T+r)*
cours d’analyse.
jr 3-r 1
, cos. SIS. —
cos. y-T, sm. -
