CL -+- (o j/ — l , CL — Y

deux racines imaginaires conjuguées de l'équation (î); et prenons pour A et B deux quantités réelles propres à vérifier la formule

jF'.(jr) représentant toujours le coefficient de z dans le développement de F(jr-t-z). On aura nécessairement

et , par suite , si l’on décompose la fraction rationnelle ■y7~)~ ’ ^es deux fractions simples correspon dan tes aux facteurs linéaires conjugués

X — dL — Ç>Y~ '* x — cL -h- C Y~~’ seront respectivement

A — B \/ ^i A -4-JÎ }/ — j

x — et — £ ÿZTv 9 x — ■ & -f- C v-—~i *

En ajoutant ces deux fractions, on obtiendra la suivante * .

Cette dernière , qui a pour numérateur une fonction réelle et linéaire de la variable x , et pour dénominateur un facteur réel du second degré du polynôme F(x) > ne diffère pas de la fraction

380 , COURS d’analyse.

que renferme la formule (p) du premier paragraphe, dans le cas où l’on suppose .

•r. — et-i-C ]/—< , .r, = et — C f—'. .

5. 3.‘ Décomposition d’une Fraction ràtionnellc donnée en d’autres plus simples qui aient pour dénominateurs respectifs les facteurs linéaires du dénominateur de la première , ou des puissances de ces mêmes facteurs , et pour numérateurs des constantes.

Soient

la fraction rationnelle que l’on considère , m le degré du polynôme F (x) , et

les diverses racines de l’équation •

On aura, en désignant par X un coefficient constant, et par ’tn , ni", ni ', &c.... plusieurs nombres entiers dont la somme sera égale à in ,

Cela posé, si l’on fait usage de la méthode exposée dans le premier paragraphe, Ion décomposera la

fraction rationnelle en deux autres dont la

première sera de la forme

tandis que la seconde aura pour dénominateur

= k{x—df-' (x—b)m“ (.z— c)m‘"

En décomposant cette seconde fraction rationnelle par la même méthode , on obtiendra , i .° une nouvelle fraction simple

• Ax

da&s laquelle A, représentera une constante, 2.*une fraction qui aura pour^ dénominateur

k (.v—ay-1 {.r—b)m" (x—c)n"' ....

En continuant ainsi, on fera disparaitre successivement du polynôme n*) les différens facteurs linéaires dont se compose la puissance (.r— a)m';

et , lorsqu’on aura extrait de -y.^- une suite de fractions simples de la forme

Xx—a)™ ’ ’

le reste sera une nouvelle fraction rationnelle dont le dénominateur se trouvera réduit à

382 COURS d’analys«.

Si de ce reste on extrait une seconde suite de fractions simples de la forme

B Bt B%

on obtiendra un second reste dont le dénominateur sera

Enfin , si l’on prolonge ces opérations jusqu’à ce que le polynôme F{x) se trouve réduit à la constante k, le dernier de tous les restes sera une fraction rationnelle à dénominateur constant, c’est-à-dire, une fonction entière de la variable x. Appelons R cette fonction entière. On aura définitivement pour la

valeur de décomposée en fractions simples

{x-ar

Cw/"~ 1 x~c

A f A , t .... Am,, , R f R , » .... Rm., j

Ct C , , .... C/mm,' ; &c. . . .

désignant des constantes que l’on peut facilement déduire des principes exposés dans le premier paragraphe , ou calculer directement à l’aide des considérations suivantes.

Faisons, pour plus de commodité,

Q sera une nouvelle fonction entière de la Variable x , et Féquation (3) deviendra

.. Aml,

Si l’on multiplie les deux membres de cette dernière par

on en conclura ’ •

•{ +kQ(£-a)”'.-,

et par suite , en faisant *

fl

on trouvera

/ (« -+-*} = [ A-+-A Am>^ ]

-4- Z Zm' ,

384 cours d’analysê.

Z. désignant la valeur du polynôme k Q exprimée en fonction de z. Supposons maintenant que la substitution de xa -z, au lieu de x, dans les fonctions /"(tr) et F{x) donné généralement

(7)] F(xa-z) = F(.r)-t-zF, (x)-i-z1Ft (x)-+-

• I -4- z»' FJx) -H Z— Fmi, (x) -+- &c.

On aura, en prenant x=a-*-z , et observant que le développement de la fonction

doif être divisible par (x — ,a)m' —z”',

/gx | f («-+■*)=./(«) -+- .s/, (o) -+-»*/* (a) -t- &c

, 1 ^ («4-*) = [^m'(a)-+-*fm-+I(a)-t-3I/rm/^J(o)-H&c... II"'.

(9) ;^(«) = 0. F, (a) = O , ... Fm, (a) = O,

Cela posé , la formule (6) se trouvera réduite à

[/(*) + */, («) -t- (o) -H &c as

( 1 °)\ {A+A tx+A xzx+ ...) x [Fm,(a)+z Fm,+ , (a)+zlFm,^i(a)+ ... ]

et l’on en tirera , en égalant dans les deux membres les coefficient des puissances semblables de z ,

./ A /(<*) = A f„>(a) , /, (a) — A, F„,(a) A Fm,Mt (a) ,

' 1 i .MO- A„ Fm,(d) -+- Ajm.^a) +. A Fm[xr\ (a) , &c. . . /

On trouvera par un calcul entièrement semblable

l.“ PARTIE. CH AP. XI. 385

( m = BF«ib),f,(b)=BM)+BF^t(tr) , /,(*) = & c..., (12) f(c)—CFmu(c), /1(cK/^)+^,(c)1*/1W = & c... • ( &c

Ces diverses équations suffiront pour fixer complètement les valeurs des. constantes A, A , , Alt. . .

B, Bt, . ... C, C, , C, , ... &c Elles

donneront , par exemple ,

A /(°) A /■(“) — ^tFm/+I(a) •

"" T7(«) ’ * ~ FmA«) V ’

— Tm1 ’ &c -

Les constantes ainsi déterminées étant évidemment indépendantes du mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle -4~- > il en résulte

que cette fraction est décomposable d’iine manière seulement en fractions simples de la forme de celles que renferme le second membre de l équation (3).

Il est aisé de voir que la première des équations (13) s’accorde avec la formule (i4) du premier, paragraphe. En effet , la quantité Fm, (a) est ce que devient le polynôme

' Fm, (a) -4- z F„;+,(a) -+- Ftn^%{a) -+- &è ...

lorsqu’on y fait z—o ou x—a; et par suite, si l’on pose

TOM. !.. B b

386 cours d’analyse.

(* 4) F(x) = (x-a)ml q>(x), .

on aura Fm>(u) — («)'»

Dans le cas où , les foncfioirs f{x) et F (x) étant réelles l’une et l’autre , l’équation ^(4;) = o admet m racines égales à ct,-*-£|/— 1 , la même équation admet eneorç vi racines égales conjuguées aux premières, et par conséquent représentées par

et, ]/ — I .

Dans cette hypothèse , si , après la décomposition d© la fraction rationnelle

on réunit deux à deux les fractions simples qui ont pour dénominateurs

(x — ce — © j/— 1 )m' et ( x — et-h-Cy^îJm' ,

{x — et, — €}/— et (x — ct-f-€/-i)m'-‘ ,

enfin

x — et, — £ j/— 1 et x — «,-+-£ j/-^T ,

les différentes sommes obtenues seront des fraclions réelles- et rationnelles qui auront pour dénominateurs respectifs

[('*- Éÿ^Cry,

et dont le système pourra être remplacé par une suite d’autres fractions qui,, avec les mêmes dénominateurs, auraient pour numérateurs des fonctions réelles et linéaires de la variable x. Au reste, il est facile de calculer directement cette nouvelle suite de fractions, en commençant parcelles qui. correspondent aux plus hautes puissances de (j; — et)1 -+- £*. Cherchons , par exemple , celle qui a pour dénominateur

D’après les principes établis dans le premier paragraphe , elle sera

pourvu que Fon fasse

if/

et

Ajoutons que , si dans la formule précédente on

Bb’

388 cours d’analyse.

pose successivement

x = ot-t-Ç ]/ — • -\-Z , X — du — o/-

on en conclura, eu égard à la seconde des équa^ tions (8) ,

Ç> ( dU — f— £> j/— i ■+■

(<*• — C 1/ — 1 ) -f- s /■ (<*■-+- £ l/— 0 -+- Ac.. • •

— ~ (Tf/zn-i)"' ’

Cp f et — ê y/ — 1 -+- c ^ •

Fm' {a-'^r ^ y/ — 1 ) ^m'+i (* — £ 1/— 0 -H Ac. • • •

~ (-if

et par suite,

(et -4- Cs — 1 ^ —

F'm’ja- -+■ f y/— ■)

<p(ot — C}/-') (— l)"'