CHAPITRE XII

Des Séries récurrentes.

J. l.*r Considérations générales sur les Séries récurrentes.

Une série '

(1) a,x, axx', an x*, &c....,

ordonnée suivant les puissances ascendantes et en- * tières de la variable x, est appelée récurrente, lorsque dans cette série, considérée à partir d’un terme %

• donné, le coefficient d’une puissance quelconque de la variable s’exprime en fonction linéaire des coefficiens des puissances inférieures pris en nombre fixe; en sorte qu’il suffise de recourir aux valeurs de ces derniers coefficiens pour en déduire celui que .l’on cherche. Ainsi , par exemple , la série \ ,

est récurrente , attendu que , si l’on fait

on aura constamment pour des valeurs de n supérieures à l’unité *

(3) a.- zaK, — a„t.

39Ô • CofiltS ï)’analyse.

En général , la série ( i ) sefa récurrente , si , pouf toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite , les coefficiens

an f ait~x » > • • • ^n~m

de plusieurs puissances consécutives de x se trouvent liés entre eux par une équation du premier degré. Soit

(4) k lan.„^ -4- ... +pan x ■+■ (jan — o

l’équation dont il s’agit, k, . . . p , q désignant . des constantes déterminées. La suite de ces constantes formera ce qu’on appelle X échelle de relation de la série , échelle dont les constantes elles-mêmes seront les difFérens termes. ,

. Dans la série ( i ) , supppsée récurrente , la variable x et les coefficiens a„, a, , ax , .... a„ peuvent être .ou des quantités réelles, ou des expfessions imaginaires. Cela posé , représentons par f„ le module de l’expression an , et par conséquent la valeur numérique de cette expression , lorsqu’elle est réelle. On conclura immédiatement des principes établis dans les VI.* et IX.e chapitres que la série (i) sera tantôt convergente , tantôt divergente , suivant que le module ou la valeur numérique de x sera inférieur ou supérieur à la phis petite des limites vers lesquelles converge, tandis que n croit indéfiniment,

»'• 'JL

l’expression (/„) " .

5. 2.* Développement des Fractions rationnelles en Séries récurrentes. f • % Toutes les fois qu’une fraction rationnelle peut se

développa* en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable, cette série est en même temps récurrente, ainsi qu’on va le faire voir.

Considérons d’abord la fraction rationnelle

dans laquelle a, A désignent deux constantes réelles ou imaginaires , et m un nombre entier. Ëïle pourra se mettre sous la forme

et sera développable , aussi bien que l’expression

en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x, si

la valeur numérique du rapport supposé réel ,

ou le module du même rapport supposé imaginaire, est une quantité comprise entre les limites o et 1. Cette condition sera remplie, si le module de la variable x, module qui se réduit à la valeur numérique de la même variable quand ceüê-ci devient -imaginaire est inférieur au module de la. constante

392 cours d’analyse. *

a;. et l’on aura, dans cette hypothèse,

' / ta i#2 a

= ^CT-') ... »-3-4 »» x 1.4. ?../■»+■ ï x1

On trouvera par suite

(■}) ; — d. ( ,\m ( ^ m Ax m( m-t-i) Axx \

et , si 1 on fait pour abréger

on obtiendra féquàtion

(5) (x— a)” 7" a° ’A~aixArd1X -4- ûtnar”-t-&C....

Concevons maintenant que l'on multiplie les deux membres de l 'équation précédente par [a—x)n : on en tirera -•

( *" “ Ta”~' x+

“m (“•> ■+• ff. x -H»,-*1 xm î’*' -+&C...J

m nh j

— — a (a.x-f-rt, x’ -4- h<*m,xm-+- «m X*-' -f- Scc. . .)

m fm— \ ) __

'*~-~rT'îr a ~1(ao*1-*- “A-am 1xm + am„tX’n+' -

ou , ce qui revient au même ,

, m • mfwt — 0 m ,

“ rtn 0 “n-, H 0 an~i

I I ai

Cette dernière formule devant subsister toutes les fois que le module de la variable x est inférieur au modale de la. constante a, par conséquent, toutes les fois que l’on attribue à x une valeur réelle peu différente de zéro , on en conclura, par des raisonneinens semblables à ceux que nous avons employés pour démontrer le 6.e théorème du VI.e chapitro

( -x)mA = a" a,,' «"- a0 = o,

am a, — — «■»•*.«, -4- -'A a’"-1 a„ = o , &c.... ,

et généralement

(?) a an — ■

Il est essentiel de remarquer que l’équation (9) a lieu seulement pour des valeurs entières de n égales ou supérieures à m , et quelle doit être remplacée, lorsqu’on suppose n < m, par l’une des formules (8).

394 cours d’analyse.

De plus , comme I équation ( 9 ) , étant linéaire par rapport aux constantes

an > an- * > an- 1 * • • • an-m >

donnera pour la première de ces constantes une fpnction linéaire de toutes les autres , il en résulte que dans la série

(ro) aB, a.x, axx* , ... a„x”, &c. ..4

considérée à partir du terme amxm , le coefficient d’une puissance quelconque de x s’exprimera en fonction linéaire des coefficiens des puissances inférieures pris consécutivement et en nombre égal à m. Cette sériè’sera donc l’une de celles que nous avons nommées récurrentes.

Parmi les diverses formules particulières qu’on peut déduire de l’équation (3), il est bon de remarquer celles qui correspondent aux deux suppositions, m— 1 , m— 2. On trouve dans ja première hypothèse

et dans la seconde

2 ^-x -h 3 ^f-xl-¥- 4 -^-.rî~t-&c.

Les deux formules précédentes, dont la première détermine la somme d’une progression géométrique, subsistent, ainsi que l’équation (3), toutes les fois que le module de x est inférieur au module de a. Lorsque dans 1 équation (1 2) ôn fait en même temps

A — i , a = i ©n obtient la suivante

(*3) ’fx-ijv = I+U + 3J‘ + 4-r? &c...

qui a pour second membre la somme de la série (2) [§. i.*r], et suppose le module de x inférieur à l’unité.

Considérons maintenant une fraction rationnelle quelconque

f{x), F(x) étant deux fonctions entières de la variable x. Représentons par a, b, c, ... les diverses racines de l’équation

par ni le nombre des racines égales à a, par m" le nombre des racines égales k b , par ni" le nombre des racines égales à c, &c. . . ., et par k le coefficient de la plus haute puissance de x dans le polynôme F(x)-, en sorte qu’on ait

( 1 6) F(x) = k (x— df‘ (x—b)m" (.r — c)m . . . ï

La méthode exposée dans le chapitre précédent fournira, pour la. décomposition de la fraction rationnelle

( en fractions Simples , une équation de la forme

cours d’analys?.

(x-af (x — n)'n'~‘

B Bx

(x-b)m" {x-bjm"-‘ '

B mu. ,

Ç nt"- 1

A , A,, ... B, Bx, ... C, Clf... &c. .. désignant des constantes déterminées, et R une fonction entière de x qui s’évanouira lorsque le degré du polynôme f{x) sera inférieur üf celui du polynôme Cela posé , coûterons que le module de la variable x soit inférieur aux modules des diverses racines a, R , c , et par conséquent au plus petit de ces modules. On pourra développer chacune des fractions simples que renferme le second membre de l'équation (17) en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable x ; puis, en ajoutant les développemens ainsi formés au polynôme R, on obtiendra une nouvelle série convergente toujours ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, et dont la somme sera équivalente à la fraction rationnelle . Soit

(18) a,x, a^x1 , ... a„xn , &c. ...

la nouvelle série dont il est ici question. La formule

subsistera toutes les fois que cette nouvelle série

sera convergente, ccst-à-dire, toutes les fois que le module de la variable x sera inférieur au plus petit des nombres qui servent de modules aux racines de • l’équation (i 5). J’ajoute que la série (18) sera toujours une série récurrente. C’est ce que l’on prouvera aisément ainsi qu’il suit.

Désignons par m la somme des nombres entiers m', mu , iri", . . . , ou , ce qui revient au même , le degré du polynôme F(x ) , et faisons en conséquence

(20) F(x)=k xm-+- lxm~l -+- ..... -+-px -t- q ,

'k, l, p , q représentant des constantes réelles

ou imaginaires. L’équation (19) deviendra

Après Favoir mise sous la forme (22) /(*) =

(? -hps -4- -t-lxm~‘ -+- h xm) x («0-4-a1x-+-aix* -H&c...),

on en tirera , en développant le second membre Comme on l’a fait pour l’équation (6) ,

/ (x) = q a0 -t- (îa,+p«0)ï -t- &c ..

(î «m-t -P «m-, -H ...-+• It», ■+■ k a0) xm

398 COUPS » ANALYSE

Cette dernière formule devant subsister tant que le module de la variable x est inférieur aux .modules des constantes a, b , c, ... , on démontrera , par des raisonnemens semblables à ceux dont nous avons fait usage pour établir le 6.' théorème di| VI.C chapitre [§. 4]> (lue les coefficàens des puissances semblables de x dans les deux membres sont nécessairement égaux entre eux. Il en résulte i.° que les coefficiens des diverses puissances de x dans les différens termes du polynôme f{x) sont respectivement égaux aux coelfieiens des memes puissances dans la série dont la somme constitue le second membre de Icquation (23), 2.0 que dans cette série les cocffi-* ciens des puissances dont l’exposant surpasse le degré du polynôme f{x) se réduisent à zéro. D’ailleurs, si l’on considère un tenue de la série dans lequel l’exposant n de la variable x surpasse le degré du polynôme f(x) , et soit en même temps égal ou supérieur à vi t ce terme sera de la forme

{qan+pa„-l + .... + l a„m. „ , -h b a„m ) xn.

Donc, toutes les fois que la valeur de n, étant supérieure au degré du polynôme /"(.r) , sera de plus égale ou supérieure au degré vu du polynôme F(æ), les coefficiens

• ant an- 1 » • • • • ? an-m

se trouveront assujettis à {'équation linéaire

(24) î an -*-Æ Cl„m = O ;

J by Gboglc

Di<

et par suite , pour une semblable valeur de n , le coefficient a„ de la puissance x" s’exprimera en fonction linéaire de ceux des puissances inférieures^ prises consécutivement au nombre de ni. La série (18) sera donc l’une de celles que l’on nomme récurrentes. Son échelle de relation se composera des constantes

respectivement égales aux coefficiens des diverses

puissances de x dans le polynôme F{x)^

Parmi les séries qui représentent les développemens

des fractions renfêrmées dans le second membre de * • 4

la formule (17), et qui sont toutes convergentes dans le cas où le module de la variable x reste inférieui' aux modules des diverses racines de l’équation (15), lune au moins deviendrait divergente, si le module de la variable venait à surpasser celui dq quelque racine. Par suite la série (18), toujours^ convergente dans le premier cas, sera divergente dans le second. D’autre part, si l’on. fait croître indéfiniment le nombre entier n , et’si l’on désigne par fn le module du coefficient an dans la’ série (18), cette série sera convergente ou divergente [voyez le §. 1 .er ] suivant que le’module de x sera inférieur

ou supérieur à la plus petite des limites de (y„) " . Comme les deux règles de convergence que nous • venons d’énoncer doivent nécessairement s’accorder entre elles, on peut conclure que le plus petit des modules qui correspondent aux racines de l'éqtfa-