cours d’analyse

tion (15) est précisément égal à la plus petite des

x limites de V expression (/„)

Lorsque les deux fonctions f(x), F{x) sont réelles , le coefficient a„ l’est aussi , et son module fn ne diffère pas de sa valeur numérique. Si dans la même hypothèse 1 équation F[x) =1 o n’a que des racines réelles , la racine qui aura la plus petite valeur numérique sera , d’après ce qu’on vient de dire , égale ( au signe près ) à la plus petite des

limites de ( pn) * . Enfin si le rapport con-

verge vers une limite fixe , on pourra la substituer [chap, H, §. 3 , 2 .e théorème] à fa limite cherchée

de l’expression (j>) " . Cette remarque eonduit à la règle qu’a donnée Daniet Bernoulli pour déterminer numériquement la plus petite ( abstraction faite du signe ) de toutes les quantités qui représentent les racines supposées réelles d’une équation algébrique.

§. 3.e Somihation des Séries récurrentes , et fixation de leurs Termes généraux.

Lorsqu’une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable x est à- la -fois convergente et récurrente, elle a toujours pour somme, une fraction rationnelle. Eh effet, soit

fi) a,f a, x, a^x1 , . . . aKxn , &c....

une semblable série ; et supposons que , pour des valeurs de n supérieures à une certaine limite , le coefficient an de la puissance x" soit déterminé, en fonction linéaire des coefficiens des puissances inférieures pris en nombre égal à n, par une équation de la forme

(2) . ka„m-t-ïan m.,+ ...+pa„l+qaa = o, en sorte que les constantes

forment féchelle de relation de la série. Si l’on multiplie la somme de cette série , savoir ,

a, -+- a,x ■+■ axxx •+■ &c. . . .

par le polynôme

kxm -4- lxm~' -4 -px -4- q ,

le produit obtenu sera la somme d’une nouvelle série dans laquelle le coefficient de xn , calculé comme dans le chapitre VI [ §. 4 » 5 -e théorème ] , s’évanouira pour des valeurs de n supérieures à la limite assignée. En d’autres termes, le produit dont il est question sera un nouveau polynôme d’un degré marqué par cette limite. Si l’on désigne ce nouveau polynôme par f(x ) , on aura

(3) /(■*) = -t- • • • -h^x-4-j) (o0 + oIx-4-«1x*-4- ,

et par suite

(4) a0-4-a,x-haxx,-t-&.c...~

ksm+Um-l+...+px+q '

402 COURS d’analyse. i.m part. CH. XII.

Donc toute çérie , qui , ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x , est :à-la-fois convergente et récurrente , a pour somme une fraction rationnelle , dont le dénominateur est un polynôme dans lequel les puissances successives de x ont pour coefficiens les différons termes de lechelle de relation de la série. *

Lorsque pour faire connaître une série récurrente on donne seulement ses premiers termes , pt l’échelle de relation qui sert à déduire des premiers termes tous ceux qui les suivent , on détermine sans peine , à l’aide de la méthode que nous venons d’indiquer , la fraction rationnelle qui représente la somme de la série dans le cas où elle demeure convergente. Cette fraction rationnelle étant calculée, on pourra lui substituer une somme de fractions simples augmentée, s’il y a lieu, d’une fonction entière de la variable x; et, si Ton cherche ensuite les séries récurrentes qui , pour des valeurs de x convenablement choisies , expriment les développemens des fractions simples dont il s’agit , on obtiendra , en ajoutant les termes généraux de ces mêmes séries, le terme général de la série proposée.