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précédés du signe -+- sous le nom de quantités positives, et les nombres précédés du signe — sous le nom de quantités négatives. Enfin l’on est convenu de ranger les nombres absolus qui ne sont précédés d’aucun signe dans la classe des quantités positives ; et c’est pour cette raison qu’on se dispense quelquefois d’écrire le signe -+devant les nombres qui doivent représenter des quantités de cette espèce.

En arithmétique , on opère toujours sur des nombres dont la valeur particulière est connue, et qui sont par conséquent donnés en chiffres; tandis que dans l’algèbre, où l’on considère les propriétés générales des nombres , on représente ordinairement ces mêmes nombres par des lettres. Une quantité se trouve alors exprimée par une lettre précédée du signe H- ou — . Au reste , rien n'empêche de représenter les quantités par de simples lettres aussi bien que les nombres. C’est un artifice qui augmente les ressources de l'analyse ; mais lorsqu’on veut en faire usage , il est nécessaire d’avoir égard aux conventions suivantes.

Comme , dans le cas où la lettre A représente un nombre, on peut, d’après ce qui a été dit ci-dessus, désigner la quantité positive dont la valeur numérique est égale à A , soit par -+- A , soit par A seulement , tandis que — A désigne la quaptité opposée , c’est-à-dire, la quantité négative dont A est la valeur numérique : ainsi , dans le cas où la lettre a représente une quantité , l’on regarde comme synonymes les deux expressions a et a, et l’on désigne par — a la quantité opposée.

D’après ces conventions, si l’on représente par A soit un nombre, soit une quantité quelconque, et que l’on fasse

on aura

Si dans les quatre dernières équations ion remet pour a et b leurs valeurs entre parenthèses , on obtiendra les foi-mules

Dans chacune de ces formules le signe du second membre est ce qu’on appelle le produit des deux signes du premier. Multiplier deux signes l’un par l’autre, c’est former, leur" produit. L’inspection seule des équations ( i ) suffit pour établir la règle des signes ,, comprise dans le théorème que je vais énoncer. ’ i ; . • : .•*.* .

J." Théorème. Le produit de deut signes semblables est toujours -+- , et le produit de deux lignes opposés est toujours — . .-r

Il suit encore des mêmes équations que le produit de deux signes , lorsque l’un des deux est -+- , reste égal à l’autre. Si donc l’on a plusieurs signes à multiplier entre eux, on pourra faire abstraction de tous les signes -+-. De cette remarque on déduit facilement les propositions suivantes. ' - 1

* 2.* Théorème. Si l'on multiplie plusieurs signes

les uns par les autres dans un ordre quelconque le produit sera toujours , lorsque les signés — seront en nombre pair , et le produit sera — , dans le cas contraire. . ..iszu-p

3.' Théorème. Le produit de tant de signes que l’on voudra reste le même , dans quelque ordre qu’on ■ les multiplie'. ... .. ..

Une conséquence immédiate des définitions qui précèdent , c’est que la multiplication des signes n’a aucun rapport avec la multiplication des nombres. Mais on n’cn sera point étonné , si l’on observe que la notion du produit de deux signes se présente dès les premiers pas que l’on fait en analyse , puisque dans l’addition ou la soustraction d’un monome on multiplie réellement le signe de ce monôme par le signe h- où — .

En partant des principes que nous venons d’établir , on lèvera facilement toutes les difficultés que peut offrir l’emploi des signes h- et — dans les opérations de Talgèbre et de la trigonométrie. Seulement il faudra distinguer avec soin les opérations relatives aux nombres de celles qui se rapportent aux quantités positives ou négatives. On devra sur-tout s’attacher à fixer d’une manière précise Je but des unes et des autres, à définir leurs résultats, et à en montrer les propriétés principales. C'est ce que nous allons essayer de faire en peu de mots , pour les diverses opérations que l’on a coutume d’exécuter.