ADDITION ET SOUSTRACTION

Sommes et différences des nombres. Ajouter au nombre A le nombre B, ou, en d’autres termes, faire subir au nombre A l’accroissement B , c’est ce qu’on

appelle faire une addition arithmétique. Le résultat de cette opération s’appelle somme. On l’indique en plaçant à la suite du nombre A son accroissement -+- B /ainsi qu’il suit : - .

On ne démontre pas , mais on admet comme évident , que la somme de plusieurs nombres reste la même dans

quelque or dire qu’on les ajoute. C’est un axiome fonda** mental sur lequel reposent l'arithmétique , l’algèbre i et

toutes les sciences de calcul. a

La soustraction arithmétique est l’inverse dç l’addiq tion. Elle consiste à retrancher d’un premier nombre A un second nombre B, c’est-à-dire , à chercher un troisième nombre C qui, ajouté au secorîd , reproduise le pt'émieiv Cest-là aussi ce qu’on appelle faire subir au nombre A la diminution — B. Le résultat de cette opération se nomme différence. On l’indique en plaçant à la suite du nombre A la diminution — B , ainsi qu’il suit,

- ; 1JT»

Quelquefois on désigné la différence A — B sous le nom d’excès, ou de reste , ou de rapport arithmétique entre les deux nombres A et B.

Sommes et différences des quantités. Nous avons expliqué, dans Jes préliminaires ce que c’est qu’ajouter deux quantités entre elles. En ajoutant plusieurs quantités les unes aux autres, on obtient ce qu’on appelle leur somme. Il est facile' de démontre* , en s’appuyant sur l'axiome relatif à. l’addition des nombres , la proposition

suivante.

iSM

4/ ThjÉorème. La somme de plusieurs quantités reste la même , dans quelque ordre qu’on les ajople. ^ On indiqua la somme unique de plusieurs quantités par la simple juxta-posilion des lettres qui représentent soit leurs valeurs numériques , soit les quantités elles-mêmes , chaque lettre étant précédée du signe quelle doitavoir pour1 restef ou devenir propre à exprimer la quantité correspondait tel Les différentes lettres peuvent d’àilïeurs être disposées dans un ordre quelconque ; et il est permis de supprimer

ic signe -4- (levant la première lettre. Considérons , p*r exemple, les quantités

Leur somme pourra être représentée par l’expression

Dans une semblable expression, chacune des quantités

est ce qu’on appelle un vionome. L’expression elle-même est un polynôme dont les monomes en question sont les dilférens termes. 1 .

Lorsqu'un polynôme renferme seulement deux , trois , quatre .... termes, il prend le nom de binôme, trinôme, quadrinome , .....

On prouve aisément que deux polynômes dont tous Ie9 termes sont égaux et de signes contraires, représentent deux quantités opposées. ' (

La différence entre une première quantité et une seconde , c’est une troisième quantité qui , ajoutée à la seconde, reproduit la première. En partant de cette définition, on démontre que , pour soustraire d'une premier a quantité a une seconde quantité b, it suffi d'ajouter à la première la quantité opposée à b, c’est-à-dire , — b. On en conclut que la différence des deux quantités a et b doit être représentée par

Nota. La soustraction étant l’inverse de l’addition peut toujours s’indiquer de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer que la quantité c est la différence des deux quantités a et b, on peut écrire indifféremment

a — b = c ou a = i + c.

Hotiï i." 409

5 multiplication ét division.

Produits et quotiens des nombres. Multiplier le nombre A par le nombre B , c’est opérer sur le nombre A précisément comme on opère sur l’unité pour obtenir B. Le résultat de cette opération est ce qu’on appelle le produit de A par B. Pour bien comprendre la définition précédente de la multiplication , il faut distinguer différais cas suivant l’espèce du nombre B. Or ce nombre peut être tantôt rationnel , c’est-à-dire , entier ou fractionnaire, tantôt irrationnel, c’estrà-dire, non rationnel.

Lorsque B est un nombre .entier , il suffit, pour obtenir B, d’ajouter l’unité plusieurs fois de suite à ellemême. Il faudra donc alors, pour former le produit de A par B , ajouter le nombre A à lui-même un pareil nombrè de fois , c’est-à-dire > faire la somme d’autant de nombres égaux à A qu’il^.y a d’unités dans B.

i Lorsque B est une fraction qui a pour numérateur mt et pour dénominateur n , l’opération , par laquelle on par>vient,au nombre B , consiste à partager l’unité en n parties égales, etj.à. répéter ni fois le résultat trouvé. On obtiendra donc alors le produit de A par B, en partageant le nombre A en n parties égales , et répétant l’une de ces parties m fois. • r . v •*

Lorsque B est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels, des valeurs de plus en plus approchées. On fait voir aisément que dans la même hypothèse le produit de A par les nombres rationnels dont il s’agit s’approche de plus en plus d’une certaine limite.

- Cette limite sera le produit de A pat B. Si l’on suppose, par exemple , B = o , on trouvera une limite nulle , et ion en conclura que le produit d’un nombre quelconque par zéro s’évanouit.

Dans la muitipIication .de j4 par B, le nombre A s’appelle multiplicande , et le nombre B multiplicateur. Ces deux nombres sont aussi désignés conjointement sous Je norh dé facteurs du produit.

Pour indiquer le produit de A par B , on emploie indifféremment l’une des trois notations suivantes :

• Le produit de plusieurs nombres reste le même dan» quelque ordre qu’on les multiplie. Cette proposition , lorsqu’il s’agit de deux ou trois facteurs entiers seulement , se déduit de l'axiome relatif à l’addition des nombres. On peut ensuite la démontrer successivement, i.® pouf deux ou trois facteurs rationnels; z.° pour deux ou trois facteurs irrationnels ; j.®: enfin pour un nombre quelconque de facteurs rationnels ou irrationnels.

Diviser le nombre A par le nombre B / c’est cherche!un troisième nombre dont le produit par B soit égal üA. L’opération par laquelle on y parvient s’appelle division \ et le résultat de cette opération quotient. De plus , le nombre ^ prend le nom de dividende , et le -nombre B celui dé diviseur. 1 *’ * * . ,fI ’

Pour indiquer te quotient de A par B , 6n emploie à volonté l’une des deux notations suivantes

-. ’q ii-> foîq il i îfcr* >. t. »•; -.'l'aiie o re* f -t * > | . , ■ • a ,

Quelquefois on désigne lé quotient A : B sous le nom

de rapport ou raison géométrique des deux nombres A

viB1 •

L’égalité de deuxTapports géométriques A: B, C : D , •u , en d’autres termes , lequatiort

j «» û* • 'ri f* » » *

li’i f 0 1* |

AlB sa C. A

est ce qu'on appelle une proportion géométrique. Ordinairement au lieu du signe = on emploie le suivant : : qui a la même valeur , et l’on écrit

Nota. Lorsque B est un nombre entier, diviser A par B, c’est, d’après la définition, chercher un nombre qui répété B fois reproduise A. C’est donc partager le nombre A en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans B. On conclut facilement de cette remarque que , si m et n désignent deux nombres entiers, la n.mr partie de l’unité devra être représentée par

et la fraction, qui a pour numérateur m, et pour déno-

minateur n, par

Telle est , en effet , la notatiôn par laquelle on doit naturellement désigner la fraction dont i! s’agit. Mais , commè

on prouve aisément que le produit nt x — est équivalent au quotient de m, par « , c'est-à-dire , » il en résulte

que la même fraction peut être représentée plus simple» ment par la notation

Produits et quotiens dès quantités. Le produit d’une première quantité par une seconde , est une troi» sième quantité qui a pour valeur numérique le produit des valeurs numériques des deux autres , et pour signe le produit de leurs signes. Multiplier deux quantités l’une par l’autre, c’est former leur produit. L'une des deux quantités

s’appelle multiplicateur , l’autre multiplicande , et toutes

les deux conjointement facteurs du produit.

Ces définitions étant admises, on établira facilement la proposition suivante.

5.' THÉORÈME. Le produit de plusieurs quantités reste le même , dans quelque, ordre qu’on les multiplie.

Pour démontrer cette proposition , il suffit de combiner la proposition semblable relative aux nombres avec le 3.* théorème relatif aux signes [ voyez ci-dessus, page

Diviser une première quantité par une seconde, c’est chercher une troisième quantité qui multipliée par la seconde reproduise la première. L’opération par laquelle on y parvient s’appelle division ; la première quantité dividende , la seconde diviseur, et le résultat de l’opération quotient. Quelquefois on désigne le quotient sous le nom de rapport ou raison géométrique des deux quantités données. En partant des définitions précédentes , on prouve facilement que le quotient de deux quantités a pour valeur numérique le quotient de leurs valeurs numériques , et pour signe le produit de leurs signes.

Lâ multiplication et la division des quantités s’indiquent tout comme la multiplication et la division des nombres.

Nous dirons que deux quantités sont inverses l’une de l’autre , lorsque le produit de ces deux quantités sera l’unité. D'après cette définition , la quantité a aura pour inverse —• , et réciproquement.

On a remarqué plus haut que ce qu’on appelle fraction en arithmétique est égal au rapport ou quotient de deux nombres entiers. En algèbre, on désigne aussi sous le nom de fraction le rapport ou quotient de deux quantités quel*

conques. Si donc a et b représentent deux quantités , leur rapport -j- sera une fraction algébrique.

Nous observerons encore que la division, étant une opération inverse de la multiplication, peut toujours s’indiquer de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer que la quantité c est le quotient de deux quantités a et b , on peut écrire indifféremment

~ — c , ou a — b c.

Les produits et quotiens de nombres et de quantités jouissent de propriétés générales auxquelles on a souvent recours. Nous avons déjà parlé de. celle qu’a tout produit de rester le même , dans quelque ordre que l’on multiplie ses facteurs. D’autres propriétés non moins remarquables se trouvent comprises dans les formules que. je vais écrire.

Soient

® » bp C , . « • À p U p h J r . ■ * A ; 4 I • * • . &C. . .

plusieurs suites de quantités positives ou négatives. On aura , pour toutes les valeurs possibles de ces mêmes quantités ,

A (a -+- A -t- c . ...) = ka k b kc -h ... ,

a à a ad a

t* -r’tTx”*!=Tï nrrr. : *

k bk b ,

Les quatre formules qui précèdent donnent lieu à une foule de conséquences qu’il serait trop long d’énumérer (ici en. détail. On conclura , par exemple.» de la troisième formule i .° que les fractions ^ ,

sont égales entre elles, a, b, k désignant des quantités quelconques ; 4/ que la fraction a pour inverse ~ ; 3 ." que , pour diviser une quantité k par une autre quantité a, il suffit de multiplier k par la quantité inverse de a, c’est-à-dire , par -L .