AB
D’après les définitions qui précèdent, la première puissance d’un nombre n’est autre chose que ce nombre luimême. Sa seconde puissance est le produit de deux facteurs égaux à ce nombre, sa troisième de trois semblables facteurs, et ainsi de suite. Des considérations géométriques ont conduit à désigner la seconde puissance sous le nom de carré, et la troisième sous le nom de cube. Quant à la puissance du degré zéro, elle sera la limite vers laquelle converge la puissance du degré fi, tahdis que le nombre fi décroît indéfiniment. II est aisé de faire voir que cette limite se réduit à l’unité ; d’où il résulte qu’on a en général
Nous supposons toutefois que la valeur du nombre A reste finie et différé de zéro.
Extraire du nombre A la racine marquée par le nombre B, c’est chercher un troisième nombre qui , élevé à la puissance du degré B, reproduise A. L’opération, par laquelle on y parvient, s’appelle extraction, et le résultat de l’opération est la racine de A , du degré B. Le nombre B , qui marque le degré de la racine , se nomme indice* Pour la représenter, on se sert de la notation suivante
Les racines du second et du troisième degré sont ordinairement désignées sous le nom de racines carrées et cubiques. Lorsqu’il s’agit d’une racine carrée , on se dispense presque toujours d’écrire au-dessus du signe y/ l’indice z de cette racine. Ainsi les deux notations
r . - fà > V A ■ . ;
doivent être considérées comme équivalentes.
Nota. L’extraction des racines des nombres, étant l’inverse de leur élévation aux puissances, peut toujours être indiquée de deux manières. Ainsi , par exemple , pour exprimer que le nombre C est égal à la raeine de A , du degré B, on peut écrire à volonté
A—CR ou C = Y*'
Remarquons encore qu’en vertu des définitions , si l’on
désigne par n un nombre entier quelconque , A " sera un nombre tel que la multiplication de n facteurs égaux à ce nombre reproduise A. En d’autres termes, on aura
doù Ton conclura
Ainsi , lorsque n est un nombre entier , la puissance de A, du degr£ , et la racine n.m' de A sont des expressions équivalentes.- On prouve facilement qu’il en est de même dans le cas où l’on remplace le nombre entier n par un nombre quelconque.
Puissances des nombres : exposans négatifs. Élever le nombre A à la puissance marquée par X exposant négatif — B, c’est diviser l’unité par AB. La valeur de l’expression
se trouve donc déterminée par l'équation A-B *L
qu’on peut aussi mettre sous la forme AB A~B = i.
"Par suite , si l’on élève un même nombre à deux puissances marquées par deux quantités opposées , on obtiendra pour résultats deux quantités positives inverses l’üne de l’autre.
Puissances et -racines réelles des quantités. Si , dans les définitions que nous avons données des puissances et racines des nombres correspondantes à des exposans, ou entiers, ou fractionnaires , on substitue le mot de quantités à celui de nombres , on obtiendra (es définitions suivantes pour les puissances et moines réelles des quantités.
Elever la quantité a à la puissance réelle du degré tOM. 1. Dd
NOTE l.“
m [ m étant un nombre entier J , c’est former le produit d’autant de facteurs égaux à a qu’il y a d’unités dans m.
Élever la quantité a à la puissance reelte du degré — [wt et ‘h1 trtâlfet deux nombres entiers], c’est ( en' supposant r pour éviter toute incertitude , la fraction ■— réduite a sa plus simple expression ) former un produit de m facteurs égaux et tellement choisis que la n.m‘ puissance de chacun d’eux soit équivalente à la quantité a.
Extraire de la quantité a la racine réelle du degré tu <ju — c’est chercher une nouvelle quantité qui , élevée « la puissance réelle du degré m ou , reproduise a. [D’après cette définition, la n.m‘ racine réelle d’une quantité est évidemment la même chose que sa puissance réelle du degré -i-. Dé plus, on prouvera facilement que la racine du degré ~ équivaut à b puissance du degré Jll.
Enfin , élever là quantité a à la puissance réelle du degré -L— m ou — — , c’est diviser l’unité par cette même
quantité a élevée à la puissance réelle du degré m ou DanS'les opérations dont on vient de parler , le nombre ou la quantité qui marque le degré d’une puissance réelle de a s’appelle I* exposant dé cette puissance , tandis que le nombre qui marque le degré d’une racine réelle se nomme \ indice ie cette racine.
- Toute puissance de a, qui correspond à un exposant dont la valeur numérique est entière, c’est-à-dire, à un exposant de la forme -+~ m ou — m [ m représentant un nombre entrer ] , admet une valeur unique et réelle que I’bh désigne par fa notation
il «V Vu
ha
nôtit t.m 419
Quant au\ racines, et quant aux puissances dont la valeur numérique est fractionnaire , elles peuvent admettre ou deux valeurs réelles, ou une seule valeur réelle, ou n’en admettre aucune. Les valeurs réelles dont il est ici question sont nécessairement des quantités* positives ou des quantités négatives. Mais, outre ces quantités , on emploie encore en algèbre des symboles qui , n’ayant aucune signification par eux-mêmes , reçoivent néanmoins , à cause de leurs propriétés, les noms de puissances et de racines. Ces symboles sont du nombre des expressions algébriques auxquelles on a donné le nom ÿ imaginaires, par opposition à celui d' expressions réelles , qui ne s’applique jamais qu’à des nombres ou à des quantités.
Cela posé , il résulte des principes établis dans le chapitre Vil que la racine n.m' d’une quantité quelconque
a , et ses puissances des degrés ~ , — [ n étant un
nombre entier, et une fraction irréductible] admettent chacune n valeurs distinctes réelles ou imaginaires. Conformément aux notations adoptées dans le même chapitre, on désignera l’une quelconque de ces valeurs, s’il s’agit de la racine n.m‘ , par la notation
et, s’il s’agit de la puissance qui a pour exposant — ou ~ , par la notation
.((«))" ou (( . ■
Ajoutons que F ex pression ((a))* est comprise comme
cas particulier dans l’expression plus générale ((«))* ; et qu’en appelant A la valeur numérique de a on trouvera
Dd*
420 MrtTE i.“
pouï les valeurs réelles des deux expression*
i .* , si n désigne un nombre impair ,
i w a étant sss •+• A -h A ’ , -h A ",
« a étant = — A — A " , ■ — A " ,
