j si n désigne un nombre pair

a étant = -*-/< ±.4", ± A ” * .

Lorsque, dans le dernier cas, on suppose a négatif, toutes

les valeurs de chacune des expressions ((«))*, ((•)) " deviennent imaginaires.

Si l’on fait varier la fraction de manière quelle s’approche indéfiniment d’un nombre irrationnel B, le dénominateur « croissant alors au - delà de toute limite assignable , il en sera de même du nombre des valeurs imaginaires qu’obtiendra chacune des expressions

Par suite on ne peut admettre dans le calcul les notations

ou , si l’on fait b — rb B , la notation

à moins de considère^ une semblable notation comme propre à représenter une infinité d’expressions imaginaires. Pour éviter cet inconvénient, nous n’emploierons jamais l’expression algébrique

dans te cas où ta valeur numérique de b sera irrationnelle. Seulement, dans cette hypothèse, lorsque a obtiendra une valeur positive -A- A, fin pourra faire usage de la notation

ai ou ( a Y ,

que l’on devra considérer comme équivalente à

[ voyez le chapitre VII, 5- 4]- v

Les puissances de nombres et de quantités jouissent de plusieurs propriétés remarquables qu’il est facile de démontrer. Nous citerons entre autres celles qui se trouvent comprises dans les formules que je vais écrire.

Soient a, a , a", ... b, b', b", ... des quantités quelconques positives ou négatives, A, A, A", ..... de*

nombres quelconques , et m , m , m", des nombres

entiers. On aura

A*A<>'Ay' =S A*-*'**"

«**' sa .... (dtttun itt

. devant être a/Fectc du merac signe dan»

nombrçs m, m* , m les deux membres ) ,

a~m ,ai~m ,a"~m as (fl fl' fl»....)

Les formules (j) et (4) donnent lieu à une foule de conséquences, parmi lesquelles nous nous contenterons d’indiquer la suivante. On tire de la seconde des formules (j)

et l’on en conclut

Donc, si l’on élève deux quantités positives inverses l’une de l’autre à une même puissance , les résultats seront encore deux quantités inverses.

FORMATION DBS EXPONENTIELLES ET DES LOGARITHMES.

Lorsque dans l’expression A* on regarde le nombre A comme fixe, et la quantité x comme variable, la puissance A * prend le nom A’ exponentielle. Si , dans la même hypothèse, on a , pour une valeur particulière de x ,

cette valeur particulière sera ce quon appelle le logarithme du nombre B dans le système dont 1a base est A. On indique ce logarithme en plaçant devant le nombre la lettre initiale l ou L , ainsi qu’il suit,

l(B) ou £.(£),

Toutefois , comme une semblable notation ne fait pas connaître la base du système de logarithmes auquel elle se rapporte f, il est indispensable d’énoncer dans le discours la valeur de cette base. Cela posé , si l’on se sert de la caractéristique L, pour désigner les logarithmes pris dans le système dont la base est A , l’équation

entraînera la suivante

Quelquefois, lorsqu'on doit traiter en même temps des

logarithmes pris dans diftërens systèmes, on distingue les uns des autres à l’aide d’un ou plusieurs accens places a la droite de la lettre L, et l’on désigne en conséquence par cette lettre dépourvue d’accens les logarithmes d un premier système , par la même lettre suivie d’un seul accent les logarithmes d’un second système, &c....

*fen s’appuyant sur les définitions qui précèdent et sur les propriétés générales des puissances des nombi es , on reconnaîtra facilement , i .° que l unité a zéro pour logarithme dans tous les systèmes ; a/ que dans tout système de logarithmes dont la base surpasse l’unité, tout nombre supérieur à l’unité a un logarithme positif , et tout nombre inférieur à l’unité un logarithme négatif; 3.0 que dans tout système de logarithmes dont la base est au-dessous de l’unité, tout nombre inférieur à l’unité a un logarithme positif, et tout nombre supérieur à l’unité un logarithme négatif; enfin que, dans deux systèmes dont les bases sont inverses l’une de l’autre , les logarithmes d un même nombre sont égaux et de signes contraires. De plus , on démontrera sans peint? les formules qui établissent les propriétés principales des logarithmes, et parmi lesquelles on doit remarquer celles que je vais écrire.

Si l’on désigne par B, B', B", .... C des nombres quelconques , par les caractéristiques L , L des logarithmes pris dans deux systèmes dilférens dont les bases soient A , A\ et par k une quantité quelconque positive ou négative , on aura

1(5*) = kL(B),

. B A*) __ — ct{‘K

'Jt

TTT) *

ft ? .

424 NofE r.” .

Oh tire de la première de ces formules

et par suite

d où il resuite que deux quantités positives inverses Tuft de Tautre ont des logarithmes égaux et de signes contraires. Ajoutons que la quatrième formule peut facilement se déduire de la seconde. En effet , supposons que fà quantité k représente le logarithme du nombre C dans le sySfème dont la base est B. On aura

•t par suite

d’où Ton conclura immédiatement

On peut remarquer encore que, si*Ton prend B— A , en tirera de b quatrième formule f à cause de L(A)z=z 1]

ou, en faisant, pour abréger, L' (A) = y, y L\C) = fJiL{Cy

Ainsi , pour passer du système de logarithmes dont la base est A, k celui dont b base est A' , il suffit de multiplier les logarithmes pris dans le premier système par un certain coefficient y, égal au logarithme de A pris dans le second système.

Les logarithmes dont nous venons de parler sont ceux

note i." -425

qu’on nomme logarithmes réels , parce qu’ils se réduisent toujours à des quantités positives ou négatives. Mais ; outre ces quantités, il existe des expressions imaginaire» qui ont également reçu, à cause de leurs propriétés, le nom de logarithmes. Nous renvoyons sur ce sujet au chapitre IX, dans lequel nous avons exposé la théorie des logarithmes imaginaires.