c Théorème. Soient . a , b , c des quantités

quelconques positives ou négatives. Pour obtenir sur une ligne droite ou courbe V extrémité de la longueur

fl -4- 6 -t~ r -4- '

comptée à partir d'une origine donnée dans le sens déterminé par le signe de fa quantité

il suffira de porter sur cette ligne, i.° la longueur a à partir de l'origine , dans le sens déterminé par le signe de a , 2° la longueur b à partir de l' extrémité de a, dans le sens déterminé par le signe de b , j.° la longueur c à partir de l’ extrémité de b , dans le sens déterminé par le signe de c , et ainsi de suite.

7. c Théorème. Soient a et b deux quantités quelconques. Supposons de plus que l’on porte sur une ligne droite ou courbe ' et à partir d’une origine donnée , j.’ une longueur égale à la valeur numérique de te, dans le sens déterminé par le signe de a , 2° une longueur égale à la valeur numérique de b , dans le sens déterminé par le signe de b. Pour passer de r extrémité de la première longueur à celle de la seconde , ou réciproquement , en suivant la ligne que l’on considère , il suffira de parcourir une troisième longueur égale à la valeur numérique de la différence a — b.

8/ Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent , V extrémité de la longueur

représentée par .. \ « - << ■■’'

sera sur la ligne donnée un point situé à distances égales des extrémités des longueurs a et b [ les distances étant comptées sur la ligne elle-même ].

Appliquons maintenant ces théorèmes aux arcs mesurés sur la circonférence d’un cercle dont le plan est vertical », et dont le rayon équivaut à l’unité , l’origine dès arcs étant fixée à l’extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite. Si l’on désigne par 7 r, suivant l’usage, le rapport de la circonférence au diamètre, le diamètre étant égal à 2 , la circonférence, entière se trouvera exprimée par le nombre 2tt , fâ moitié de la circonférence par le nombre w, et le quart par Si, de plus, on désigne par a un arc quelconque positif on négatif, on conclîira du 6.‘ théorème que , pour obtenir l’extrémité de l’arc

a H- zmrr ou a — imi r

[ m étant un nombre entier] , il ^faut porter sur là circonférence , à partir de l’extrémité de Tare a, soit dans le sens des arcs positifs , soit dans le sens des arcs négatifs, une longueur, égale à zrtvn , c’est-à-dire, parcourir m fois la circonférence entière dans un sens ou dans l’autre ; ce qui ramènera nécessairement au point d’où l’on était parti. Il en résulte que les extrémités des arcs

a et a ± 2 m n

coïncident.

On conclura également du 6.* ou du 7.* théorème , t .* que les extrémités des arcs

a et a ztz v

comprennent entre elles un arc égal à ir , et se confondent par conséquent avec les extrémités d’un même diamètre ; 2,* que les extrémités des arcs

a et a ± - —

éomprennent entre elles un quart de circonférence, en

Kl

sorte qu elles coïncident avec les extrémités de deux rayons perpendiculaires l'un à l’autre.

Enfin on conclura du 8 .* théorème , i.* que les extrémités des arcs

n et 7r — a

sont situées k égales distances de l’extrémité de l’arc

et par conséquent placées symétriquement de part et d’autre du diamètre vertical; 2.® que les extrémités des arcs

a et a

sont situées à égales distances de l’extrémité de l’arc — .

Les arcs v — a et — a , dont il est ici question, sont

respectivepient appelés le supplément et le complément de l’arc a. En d’autres termes , deux arcs représentés par deux quantités a et b sont supplémens ou complément i’un de l’autre suivant que l’on a

a -+- b = n ou a h = — .

Puisque les angles au centre qui ont pour côté commun le rayon mené par l’origine des arcs croissent ou diminuent proportionnellement aux arcs qui leur servent de mesure , et que ces .angles eux - mêmes peuvent être considérés comme les accroissemens ou diminutions de l’un d’eux pris à volonté , rien rie s’oppose à ce qu’ils soient désignés par les mêmes quantités que les arcs. C’est . une convention que l’on a effectivement adoptée. On dit aussi que deux angles sont complémens ou supplément

NOTE l.y 429

l’un de l’autre , lorsque les arcs correspondans sont euxmémes complémens ou supplémens l’un de l’autre.

Passons maintenant à l’examen tles lignes trigonométriques; et dans ce dessein,, considérons un seul arc représenté par la quanlité a. Si on le projette successivement, i.° sur le diamètre vertical, z.° sur le diamètre horizontal, les deux projections seront ce qu’on appelle le sinus et le sinus verse de l’arc a. On peut observer que la première est en même temps la projection , sur le diamètre vertical, du rayon qui passe par l’extrémité de l’arc. Si on prolonge ce même rayon jusqu a la rencontre de la tangente au cercle mené par l’origine des arcs , la partie de cette tangente interceptée entre l’origine et le point de rencontre sera ce qu'on appelle la tangente trigonométrique de l’arc a. Enfin la longueur comptée sur le rayon prolongé entre le centre et le point de rencontre sera la sécante de ce même arc.

Les cosinus et cosinus verse d’un arc, sa co tangente et sa eosécanle ne sont autre, chose que les sinus et sinus verse , la tangente et la sécante de son complément , et constituent, avec le sinus, le sinus verse, la tangente, et la sécante de ce même aie , le système complet de ses lignes tr^go nome triques.

D’après ce qui a été dit ci-dessus f le sinus d’un arc se compte sur le diamètre vertical, le sinus verse sur le diamètre horizontal, la tangente sur la ligne qui touche le cercle à l’origine des arcs , et la sécante sur le diamètre mobile qui passe par l’extrémité de l’arc donné. De plus , les sinus et sécantes ont pour origine commune le centre du cercle , tandis que l’origine des tangentes et des sinus verses se confond avec cèlle des arcs. Enfin, on est généralement convenu de représenter par des quantités posi-