I.RE PARTIE. CHAP. H
santé) , finit par être, pour de très-petites valeurs numériques de a. , constamment do même signe que son premier terme
a ou a a".
Démonstration. En effet, la somme faite du second terme et de ceux qui le suivent est , dans le premier cas, un infiniment petit du premier ordre, dont la valeur numérique finit par être inférieure à celle de la quantité finie a , et, dans le second cas, un infiniment petit de l’ordre n , qui finit par obtenir constamment une valeur numérique inférieure à celle d’un infiniment petit de l’ordre n.
ô.c Théorème. Lorsque , dans le polynôme •
actn -t- b a,"1 c ot,"" a- &c
ordonné suivant les puissances ascendantes de a. , le degré n du second terme est un nombre impair , ce polynôme, pour de très- petites valeurs numériques de a. , est tantôt supérieur et tantôt inférieur à son premier terme aa." , suivant que la variable « et le coefficient b sont de même signe ou de signes contraires.
Démonstration. En effet, dans l’hypothèse admise, la somme des termes qui suivent le premier, savoir ,
b(JLn'-h cctn"H-&c...
sera, pour de très-petites valeurs numériques de <t, de même signe que chacun des deux produits b au”', b et. ...
32 COURS d’analyse.
. 6.' Théorème. Lorsque, dans le polynôme
et" -+- b cl"' -+- c st"" & c. . . .
ordonné suivant les puissances ascendantes de « , le degré n du second terme est un nombre pair , ce polynôme, pour de très -petites valeurs numériques de a. , finit par devenir constamment supérieur à son premier terme, toutes les fois que b est positif, et constamment inférieur , toutes les fois que b est négatif
Démonstration. En effet, clans l’hypothèse admise , la somme des termes qui suivent le premier aura, pour de très-petites valeurs numériques tte ot, le signe du produit ba,"' , et par suite le signe de b.
Corollaire. En supposant, dans le théorème qui précède , n = o , on obtiendra la proposition suivante.
7.e Théorème. Si, dans le polynôme a-r-b c c”'-*- col"11 -+- &c
ordonné suivant les puissances ascendantes de *, n désigne un nombre pair ; parmi les valeurs de ce polynôme correspondantes à des valeurs infiniment petites de «, celle qui correspond à a — o, c’est-à-dire a, sera toujours la plus petite, lorsque b sera positif, et la plus grande, lorsque b sera négatif.
Cette valeurparticulière du polynôme, plus grande ou plus petite que toutes les valeurs voisines, est ce qu’on appelle un maximum ou un minimum.
Les propriétés des quantités infiniment petites étant établies , on en déduit les propriétés analogues des quantités infiniment grandes, en observant que toute quantité variable de cette dernière espèce peut être représentée par -, cl désignant une quantité infiniment petite. Ainsi , par exemple , lorsque , dans le polynôme
axm -+- bxm~ 1 -+- cxm~% -t- &e.... hx k
ordonné suivant les puissances descendantes de la variable x, cette variable devient infiniment grande;
en la mettant sous la forme on réduit le polynôme dont il s’agit à
I — { ■ * "■ CC ■+• ' cC a a
a -q cC
et l’on reconnaît alors immédiatement que, pour de très-petites valeurs numériques de ce, ou, ce qui revient au même, pour de très-grandes valeurs numériques de x , ce polynôme est de même signe que son premier terme
Comme cette remarque subsiste dans le cas même où quelques-unes des quantités b , c .., h, k se réduisent à zéro , il en résulte qu’on peut énoncer le théorème suivant.
8.' Théorème. Lorsque , dans un polynôme ordonné suivant les puissances descendantes de la variable x , on fait croître indéfniment la valeur TOM. I. C
34 COURS d’analyse. •
numérique de cette variable, le polynôme finit par être constamment de même signe que son premier tenue.
J. 2.' De la continuité des Fondions.
Parmi les objets qui se rattachent à la considération des infiniment petits, on doit plaéer les notions relatives à la continuité ou à la discontinuité des fonctions. Examinons d’abord sous ce point de vue les fonctions d’une seule variable.
Soit f{x) une fonction de la variable x , et supposons que , pour chaque valeur de x intermédiaire entre deux limites données , cette fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en partant d’une valeur de x comprise entre ces limites, on attribue à la variable x un accroissement infiniment petit et , la fonction elle - même recevra pour accroissement la différence
qui dépendra en même temps de la nouvelle variable et et de la valeur de x. Cela posé , la fonction f(x) sera, entre les deux limites assignées à la variable x, fonction continue de cette variable , si , pour chaque valeur de x intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la différence
/(^7-t-CC) —
décroît indéfiniment avec celle de et. En d’autres termes , la fonction f(x) restera continue par rap -»
•port a x entre les limites données , si , entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.
On dit encore que la fonction est, dans
le voisinage d’une valeur particulière attribuée à la variable x , fonction continue de cette variable, v toutes les fois quelle est continue entre deux limites de x, même très-rapprochées , qui renferment la valeur dont il s’agit.
Enfin, lorsqu’une fonction fifi) cesse d’être con* tinue dans le voisinage d’une valeur particulière de la variable x, on dit quelle devient alors discontinue, et qu’il y a pour cette valeur particulière solution de continuité.
D’après ces explications, il sera facile de reconnaître entre quelles limites une fonction donnée de la variable x est continue par rapport à cette variable. Ainsi, par exemple la fonction sin. x, admettant pour chaque valeur particulière de Ja variable x une valeur unique et finie , sera continue entre deux limites quelconques de cette variable, attendu que la valeur numérique de sin. (•£ cl), et par suite celle de la différence
sin. (.JM- cl) — sin. X — 2 sin. ( j et) cos.
décroissent indéfiniment avec celle de cl, quelle que soit d’ailleurs la valeur finie que l’on attribue à x. En général , si l’on envisage sous le rapport de la continuité les onze fonctions simples que nous avons
36 cours d’analyse.
considérées ci-dessus (chap. I.er, §.2), savoir,
a-+-x, a — x , ax, xa , A‘ ^ Lx,
sin. X , cos. X , arc sin. X , arc cos. X ,
on trouvera que chacune de ces fonctions reste continue entre deux limites finies de la variable x, toutes les fois qu’étant constamment réelle entre ces deux limites elle ne devient pas infinie dans l’intervalle.
Par suite , chacune de ces fonctions sera continue dans le voisinage d’une valeur finie attribuée à la variable x, si cette valeur finie se trouve comprise
pour les fonctions
entre les limites ... x = — 00 , x—-*-oo;
sin. X cos. X J pour la fonction
a ( i ." entre les limites ... x= — 00, x~o,
* ( 2.0 entre les limites... x= o , x=oo ;
pour les fonctions
entre les limites ... x ■
enfin pour les fonctions arc sin. XI . .. .
) entre les limites ... x— — i,.r=-+-i»
arc cos. X l >
II est bon d’observer que , dans le cas oxi l’on suppose a =dz ni (m désignant un nombre entier), la fonction simple
xa
est toujours continue dans le voisinage d’une valeur finie de la variable x , pourvu que cette valeur soit comprise ,
si entre les limites . . . x— — oo , x—^oo ,
(entre les limites. . .x = — oc, x=o,
ou bien
entre les suivantes ... x — o , x = oo.
Parmi les onze fonctions que l’on vient de citer, deux seulement deviennent discontinues pour une valeur de x comprise dans l’intervalle des limites entre lesquelles ces mêmes fonctions restent réelles. Les deux fonctions dont il s’agit sont '
~ et x“ (lorsque a= — m).
L’une et l’autre deviennent infinies , et par conséquent discontinues, pour x=o. v
Soit maintenant
une fonction de plusieurs variables x, y, z et supposons que, dans le voisinage de valeurs particulières X, Y, Z .... attribuées à ces variables , f[x, y, z . . .) soit à-la-fois fonction continue de x , fonction continue de y, fonction continue de z, &c.
38 cours d’analyse.
On prouvera aisément que , si l’on désigne par et , G, y ... des quantités infiniment petites, et si l’on attribue à x, y, z ... les valeurs X, Y, Z .... , ou des valeurs très-voisines, la différence
sera elle -même infiniment petite. En effet, il est clair que, dans l’hypothèse précédente , les valeurs numériques des différences
/(.r-t-ct, y , ...)— /(.r, y, z ...),
/(.r-t-et, y-t-G, z ...)— /(.r-t-ût, y, z ...),
' y+G, z-t-y ...)— /(-en- et, y-t-6, s ...),
décroîtront indéfiniment avec celles des quantités variables et, C, y ...» savoir, la valeur numérique de la première différence avec la valeur numérique de et, celle de la seconde différence avec la valeur numérique de G , celle de la troisième avec la valeur numérique de y , et ainsi de suite. On doit en conclure que la somme de toutes ces différences, , savoir,
convergera vers la limite zéro, si et, G, y .... convergent vers cette même limite. En d’autres termes,
f (or -+• et , y-t-G, z- t-y...) aura pour limite
* La proposition qu’on vient de démontrer subsiste
l.n PARTIE. CffAfc. l’I. 39
évidemment dans le cas même où ion établirait entre les nouvelles variables eu, C, y ..... certaines relations. II suffit que ces relations permettent aux nouvelles variables de converger toutes en même temps vers la limite zéro.
Lorsque, dans la même proposition , on remplace x, y, z ... par X, Y, Z..., et x-*-&, y-+-&i z-t-y. . . par x, y, z..., ori obtient l’énoncé suivant.
l.er Théorème. Si les variables x , y, z ... ont pour limites respectives les quantités fixes et déterminées x, Y, z ..., et que la fonction f(x, y, z ...) soit continue par rapport a chacune des variables x , y, z .... dans le voisinage du système des valeurs particulières
f(x, y, z ....) aura pour limite f(x, Y, z ...).
Comme, dans ce second énoncé, les variables eu , Ç, y ... se trouvent remplacées par x — X, y— Y,
z — Z, &c les relations qu’on pouvait établir ,
dans le premier énoncé, entre eu, C,y..., pourront être établies , dans le second , entre les quantités x—X, y — Y, z — Z ; et il en résulte que la fonction/^, y, z ...) aura pour limite f{X, Y, Z ...), dans le cas même où les variables x, y, z .... seraient assujetties à certaines relations , pourvu que ces relations leur permettent de s’approcher indéfiniment des limites X , Y, Z ....
Supposons , pour fixer les idées , que x, y, z ...
40 COURS d’analyse.
soient fonctions d’une même variable t considérée comme indépendante, et continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière
Si l’on fait, pour plus de commodité, f(x, IJ, z...) = u,
u sera ce qu’on appelle une fonction composée de la variable t; et, si
désignent respectivement ce que deviennent x, y, z ...u
dans le cas où l’on suppose t==T , il est clair, d’une part, qu’une valeur de t très-voisine de T fournira pour u une valeur unique et finie ; d’autre part, qu’il suffira de faire converger t vers la limite T, pour que les variables x, y, z... convergent vers les
limites X, Y, Z et par suite la fonction
u— f (x,y,z...} vers la limite U— f(X, Y, Z...'). On prouverait absolument de la meme manière que, si l’on attribue à t une valeur très-voisine de T, la valeur correspondante de la fonction u sera la limite de laquelle cette fonction s’approchera indéfiniment, tandis que t convergera vers la valeur donnée ; et l’on doit conclure que u sera fonction continue de t dans le voisinage de t=zT. On peut donc énoncer le théorème suivant.
