THÉORÈME. Soit x une quantité quelconque. On aura

la lettre t désignant, à l’ordinaire , la base des logarithmes népériens.

DÉMONSTRATION. Le second membre de la formule (2) restant toujours positif, le théorème énoncé sera évident par lui-méme , si la quantité i -h x est négative. II suffira donc d’examiner le cas où l’on suppose

Or, l'équation (23) du chapitre VI [$• 4] donne, pour toutes les valeurs réelles possibles de x ,

et, comme les produits

sont positifs, non - seulement lorsque la quantité x est

positive, mais aussi lorsque, étant négative j elle a une valeur numérique inférieure à l’unité , on tirera de l’équation (4), toutes les fois que la condition (j) sera remplie,

Corollaire i.,t Si, dans le cas où t-+-x est positif, on prend les logarithmes népériens des deux membres de la formule (2) , on obtiendra la suivante ->

[voyez le corollaire du 4** théorème }. Cette dernière subsiste donc toutes les fois que son premier membre est réeL Corollaire 2' Soient x, y, 3, ... plusieurs quantités assujetties aux conditions

On aura , en vertu de la formule (2) ,

i-t-x<e*, i-{-y <er, i-*-z<el, &c... ; et l’on en conclura [ 2/ théorème]

(7) (i-+-x) (i-ny) (1-+-3). . .< •

Cette dernière formule subsiste donc , toutes les fois que son premier membre ne renferme que des facteurs positifs.

Corollaire 3.' Si dans le corollaire précédent on suppose

«, ... désignant des quantités positives , et a, a' ,

a" . ... d’autres quantités respectivement supérieures à