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ia formule (7) deviendra
(i-t-aa) (l -+-àV) ( i a" a." ) . . . <e **+“’* +* * ■ • • #
Si de plus ies quantités a , a , a", ... sont toutes inférieures à une certaine limite A , on aura [ en vertu des i et 3.* théorèmes ]
a et -t- a et — f— a" cl'" ... < d (et -4— et —4- et 1 ...) , et par suite on trouvera définitivement
fi
(8) (i+fl«)(i -4-aV )( 1 -+- a" a") ...<eA
La formule (8) peut être employée avec avantage dans l’intégration par approximation des équations différentielles.
Passons maintenant aux théorèmes sur les moyennes. Ainsi qu’on l’a déjà dit [préliminaires, pag. 1 4- ] » on aP* pelle moyenne entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles’ que l’on considère. D’après cette définition, la quantité h sera moyenne entre les deux quantités g, k, ou entre plusieurs quantités parmi lesquelles ï’une des deux qu’on vient de citer serait la plus grande et l’autre la plus petite , si les deux différences
sont de même signe. Cela posé , si , pour désigner une moyenne entre les quantités a , a1, a" ... on emploie , comme dans les préliminaires, la notation M (a, a!, a" ),
on établira sans peine les propositions suivantes.
8/ Théorème. Soient a, a, «" h plusieurs
quantités assujetties à la condition (9) A =: M (a, a", a" . . . ) ,
et r une autre quantité entièrement arbitraire. On aura toujours - •
(10) rhz=:M(ra, ra!, fa" .. .).
Démonstration. En effet, désignons par g la plus grande , et par k ia plus petite des quantités a, à , a" ... Les deux différence^
seront positives ; et par suite les produits
ou , en d’autres termes , les deux différences
rg — rh , r h — rk,
seront de même signe. On aura donc
rh — M (rg , rk),
et , à plus forte raison ,
rh = M(ra, ra! , ra"...),
attendu que rg, rk sont nécessairement deux des produits
r a , ra! , ra", &c. ...
9.' Théorème. Soient a, a', a" ... H plusieurs nombres qui satisfassent à la condition
(11) H — M{ A, A', A" ...),; et b une quantité quelconque. On aura
(12) H* == M(Ab, A'*, A"h ...).
Démonstration. En effet; soient G et H le plu*
grand et le plus petit des nombres A , A', A"
Les différences
étant alors positives, on conclura du 4-* théorème que les suivantes
G* Hh — lC »
sont de même signe. On aura donc
Hb — M (G1 , Kh),
et à plus forte raison
Hb — M(A\ A'*, Aui . ..)•
Corollaire. Si l’on fait en particulier b = ~, on trouvera
Vh—M[ 1/3» V^ > Va*
10.' THÉORÈME. Désignons par A un nombre quelconque , et soient b, b' , b" . . . h plusieurs quantités assujetties à la condition
On aura
Démonstration . Désignons par g la plus grande , et par k la plus petite des quantités b, b', b1' .... Les deux différences
étant alors positives, on conclura du théorème que les suivantes
A‘ — Ah, Ah‘—Ak sont de même signe. On aura donc
A^ — M^A1, Ab', Ab". . .).
11.* ThÉORÈME. Soit L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A, et désignons par B, B', b" ..... H plusieurs nombres assujettis à la condition
On aura , quel que soit A ,
(.6) L(ff) = M[L(B), L(B'), L(B") . . .].
DÉMONS TRA TION. En effet , supposons que l'on représente par G le plus grand , et par K le plus petit . des nombres B, B1, B" .. . Alors, les deux fractions
étant supérieures à l’unité , les logarithmes
ou, en d’autres termes, les différences
seront de meme signe. On aura donc
12/ ThÉORÈME. Soient b, b' , b" ... plusieurs quantités de même signe, en nombre n, et a, a , a des quantités quelconques en nombre égal à celui des premières. On aura
b-hb'-hb"...
Démonstration . Soit g la plus grande et k
la
plus petite des quantités
Les différences
S— T et T — *'
# s7* ■ et T"
fl" fl'f f
f — Tr et ir — k’
seront toutes positives. En multipliant les deux premières par b, les deux suivantes par b' , &c. . . , on obtiendra les produits
gb —a
— kb,
et
— kb',
et
— kb",
qui seront tous de même signe , aussi bien que les quantités b , b', b" . . . Par suite, les sommes de ces deux espèces de produits , savoir ,
g (b-hb' -hb" ...) — (a-Ha'-H»"...) , a-j-a'-i-o"... — /( A-t-é'-t-S".,.) ,
et les quotiens de ces sommes par b b' -+- b"
savoir ,
<M-fl'-4-a". . .
seront encore des quantités conclura -
A+A'-hA"... k »
de même signe ; d’où Ton
NOTE Iî.
tt-4-c -t-fl . . .
b-t-b -\-bl ' . , .
[ voyez clans les préliminaires le i .*' théorème et la formule (6) ]. »
Corollaire /." En supposant les quantités b, b', b", . , . réduites à l’unité , on trouve
Le premier membre de la formule précédente est ce qu’on appelle la moyenne arithmétique entre les quantités a, a', a"
COROLLAIRE 2* La moyenne entre plusieurs quantités égales se confondant avec chacune d’elles , si les
fractions y , -jr , -yr . . . deviennent égales , on aura
ce qu’il est d’ailleurs facile de prouver directement.
Corollaire 3/ Si l’on désigne par a, a."
de nouvelles quantités qui soient toutes de même signe , on aura , en vertu de l’équation (17),
eLaA-a' a -i-tt" a' . . .
al à
Cette dernière formule suffit pour établir le 3.* théorème des préliminaires.
13.* Théorème. Soient a, a', a" ... b, b', b" ... deux suites de nombres pris à volonté : et formons avec ces deux suites, que nous supposons renfermer
TOM. 1. Ff
chacune un 'nombre n de terme*, les racines
On ~ aura
B+ff+ïï . . — ' / g B’ B "
(2 1 ) l A A' A"... =zM [y/Â , tÆ y/ÂF...
Démonstration. Les logarithmes des quantités
indiqués par la caractéristique / sont respectivement
/MVï- /(/*)-*■ r(A")... /(A) l(A') l(A")
et l’équation (17) fournit entre ces logarithmes la relation suivante
l(A)+t(A‘)+l(A")... __ ri(A± ££1 K£X -)
Si maintenant on repasse des logarithmes aux nombres , ce qui est permis en vertu du théorème 1 o , on retrouvera la formule (2 1 ).
Corollaire En supposant les nombres B, B', B" ... réduits à l’unité, on a simplement
Le premier membre de la formule précédente est ce qu’on appelle la moyenne géométrique entre les nombres A , A', A"
Corollaire 2.' Si toutes les racines
deviennent égales, leur moyenne se confondra avec chacune d’elles. On aura donc alors
