Théorème. Si les fractions
b ’ ~br ’ b" • “CC' * ' -
sont égales , la valeur numérique de chacune d’elle s sera exprimée par le rapport
en aorte qu’on aura
yt(8‘+b“+h"\..) >
le signe -4- ou le signe — devant être adopté suivant que les fractions proposées sont positives ou négatives.
Démonstration. En effet, dans f hypothèse admise les fractions
JT 1 ~ JT » b„x y &C
seront égales , et l’on aura en conséquence
En extrayant les racines carrées on retrouvera la formule (*$)•
15.* Théorème. Soient a, à , a ... des quantités quelconques , en nombre n. Si ces quantités ne sont pas toutes égales entre elles , la valeur numérique de la somme
sera inférieure au produit
en sorte qu’on aura
(2 6) val.num.(a-\-a! -t-a" n.-f (a1 ■+-al-\-a"1 ...).
Démonstration. En effet, si au carré de la somme a H— a — t— a ....
on ajoute les carrés des différences entre les quantités a, a, a" . . . combinées deux à deux de toutes les ma-
nières possibles , savoir ,
(a—a'Y, (a — a")1, ... (a1 — a")*, &e. . . , on trouvera
et l’on en conclura
En extrayant les racines carrées positives des deux membres de cette dernière formule, on obtiendra précisément la formule (26).
Corollaire. Si l’on divise par n les deux membres de la formule (26) , on trouvera
(28I val. Tttan.
yV-t-a'M-a"*...)
Vn
Ainsi la valeur numérique de la moyenne arithmétique entre plusieurs quantités a , a , a" .... est inférieure au rapport
qui représente, comme on l’a remarqué plus haut , une moyenne entre les valeurs numériques de ces mêmes quantités.
SCHOLIE 1.” Lorsque les quantités a, a!, à'
deviennent égales, on a évidemment
val. num. (a-ha'-i-a" . . .) = . .) = no.
SCHOLIE 2.' Si dans l’équation {27) on pose successivement h = 2 , n =2= 3 , &c. . . . , on en conclura
16/ Théorème. Soient a, d, a" ..., et, et', et" ... deux suites de quantités , et supposons que chacune de ces suites renferme un nombre n de termes. Si les rapports
et ’ et' ’ et" ’ C
ne sont pas tous égaux entre eux , la somme a et + a et — f— a" et ' . . .
sera inférieure au produit
/(a1W1H-a"\..)./(«t-4-e t'*-*-et"\ . .) ; en sorte qu'on aura
val. num. (a a. a* et' a" et" . . . )
< y' (a1 a'1 -H (et* -H et'*
DÉMONSTRATION . En effet, si au carré de la somme
fl et —f— fl et -4— fl et • • •
on ajoute les numérateurs des fractions qui renr-V” / les carrés des différences entre les rappo :
a. ’ et' 7 et' ’ •
combinés entre eux de toutes les manières possibles, savoir , a
(adb'—a'c L)x, ... («W'-a'W)*, &c...,
on trouvera
et i on en conclura
{aa.-\-a'ct‘-\-u“cL" . . .)* < (a*.+« »-+-a"\ . .)
En extrayant les racines carrées des deux membres de cette dernière formule , on obtiendra précisément ia formule (30).
Corollaire. Si ion divise par n les deux membres de la formule (30) , on trouvera
val.
num.
Ainsi la moyenne arithmétique entre les produits
a cL , a <fJ a" et," , . . . ,
a une valeur numérique inférieure au produit de deux rapports qui représentent des moyennes entre les valeurs numériques des deux espèces de quantités comprises dans les deux suites
et, et', et" .....
Scuolie i .” Lorsque les rapports
, “te, . . .
deviennent égaux , on tire de la formule (31)
\.(aüL-\-a*CL'-\-aH<t" . . .)* — (a,-t-o'1r4-a">. . .) . .} .
et par suite
val. num. [aa. -k- a' a.' -t- a" a." . . .)
== /(a* •+• a'1 -+- a"* ...)./( a.1 -f- *'2 -4- cl"1...).
Il serait facile d’arriver directement au même résultat.
SCHOLIE 2.' Si dans la formule { 3 1 ) on pose successivement n = 2, n = 3 , &c. . . . , on en conclura
(aoe-t-a'ct')* -+- (act' — a'et)1 = (a* -t-a'1) (a1 -f-at'1) ,
(aa-H*'Æ'-H*"a")>-+-(aa' — o'a)1+(aût" — a"tt)'-4-(a'ût"—
La première des équations précédentes s’accorde avec l’équation (8) du chap. VII [§. i,cr]. La seconde peut s’écrire ainsi qu’il suit :
(aa' — a' a.)1 -4- (a*'' — a" a.)1 -4- (a'*" — a''*')*
= (aM-a'M-a"1) — (rfet-t-a'a'-4-a"a")* j
et sous cette forme elle peut être employée avec avantage dans la théorie des rayons de courbure des courbes tracées sur des surfaces quelconques, ainsi que dans plusieurs questions de mécanique.
Nous terminerons cette note par la démonstration d’un théorème digne de remarque auquel on se trouve conduit en comparant la moyenne géométrique entre plusieurs nombres avec leur moyenne arithmétique. Voici en quoi il consiste.
17.* Théorème. La moyenne géométrique entre plusieurs nombres A , B , C, D, . . . est toujours infé~ rieure à leur moyenne arithmétique .
Démonstration. Soit « le nombre des lettres A, B, C, Dx ... Il suffira de prouver qu’on a généralement
(35) 'y/ A B CD.:. < A + B+C+.E.
ou , ce qui revient au même ,
