ABCD

Jl -f- ^ -4- C*’ -t-D -4-« • .V

En second lieu, si n n’est pas un terme de la progression géométrique

on désignera par 2m un terme de cette progression supérieur à n, et ion fera

rr A. 4- B -f- C -f- D -4- ...» .

puis, en revenant à la formule (37), et supposant dans le premier membre de cette formule les 2 m — n derniers facteurs égaux à K , on trouvera

ABCD...K'm~n < [

ou , en d’autres termes ,

ABCD ... K*n~n < K1".

On aura donc par suite

ABCD ...<Kn = (A+B^+D- J.

ce qu’il fallait démontrer.

COROLLAIRE. On conclut généralement de la formule (36)

(38) i ^ + 6' + D ... > nl/ABCD...,

quel que soit le nombre des lettres A , B , C , D , .... Ainsi, par exemple,

IA B > zV ab ,

kc

Sur la Résolution numérique des Equations.

RÉSOUDRE numériquement une ou plusieurs équations, c’est trouver les valeurs en nombres des inconnues quelles renferment ; ce qui exige évidemment que les constantes comprises dans les équations dont il s’agit soient elles-mêmes réduites en nombres. Nous nous occuperons seulement ici des équations qui renferment une inconnue, et nous commencerons par établir à leur égard les théorèmes suivans.

1.*' Théorème. Soit f (x) une fonction réelle de la variable x , qui demeure continue par rapport à celte variable entre les limites x — x., x = X. Si les deux quantités /(x„ ) , f{X) sont de signes contraires, on pourra satisfaire à l’équation

par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre x0 et X.

Démonstration. Soit xt la plus petite des deux quantités x0, X. Faisons

et désignons par m un nombre entier quelconque supérieur à l’unité. Comme des deux quantités /(xJ, f[X) , l’une est positive, l’autre négative, si l’on forme la suite

et que dans cette suite on compare successivement le premier terme avec le second , le second avec le troisième, le troisième avec le quatrième, &c... , on finira nécessairement par trouver une ou plusieurs fois deux termes consécutifs qui seront de signes contraires. Soient

deux termes de cette espèce , xt étant la plus petite des deux valeurs correspondantes de x. On aura évidemment

et

Ayant déterminé x, et X1 comme on vient de le dire, on pourra de même , entre ces deux nouvelles valeurs de x, en placer deux autres x3, X" qui, substituées dans f (x) , donnent des résultats de signes contraires , et qui soient propres à vérifier les conditions

x, < -xa < X" < X' ,

X"-xt=^(X'-x,) = -^ (X-x„).

Eu continuant ainsi , on obtiendra , i .* une série de valeurs croissantes de x , savoir ,

2° une série de valeurs décroissantes

qui, surpassant les premières de quantités respectivement égales aux produits

finiront par différer de ces premières valeurs aussi peu que l’on voudra. On doit en conclure que les termes généraux des séries ( 2 ) et ( 3 ) convergeront vers une limite commune. Soit a cette limite. Puisque la fonction f{x) reste continue depuis x = xB jusqu’à x—X, les termes généraux des séries suivantes ,