OO
convergeront également vèrs la limite commune f (a) ; et, comme en s’approchant de cette limite ils resteront toujours de signes contraires , il est clair que la quantité f(a), nécessairement finie, ne pourra différer de zéro. Par conséquent on vérifiera l’équation
en attribuant à la variable x la valeur particulière a comprise entre x„ et X. En d’autres termes ,
sera une racine de l’équation ( 1 ) .
SCHOLIE 1." Si , après avoir poussé les séries (2) et (3) jusqu’aux termes
x„ et X« ,
[« désignant un nombre entier quelconque] , on prend la demi-somme de ces deux tenues pour valeur approchée de la racine a , l’erreur commise sera plus petite que leur demi-différence, savoir,
1 mn
Comme cette dernière expression décroît indéfiniment h mesure que n augmente , il en résulte qu’en calculant un nombre suffisant de termes des deux séries , on finira par obtenir de la racine a des valeurs aussi approchées que l’on voudra.
ScilOLIE 2.' S’il existe entre les limites xG, X plusieurs racines réelles de l’équation ( i ) , la méthode précédente en fera connaître une partie , et quelquefois même les fournira toutes. Alors on trouvera pour x, et X‘ , ou bien pour xx et X" , &c.... , plusieurs systèmes de valeurs qui jouiront des mêmes propriétés.
Scholie y.' Si la fonction f(x ) est constamment croissante ou constamment décroissante depuis x = xa jusqu’à x = X , il n’existera entre ces limites qu'une seule valeur de x propre à vérifier l’équation (i).
COROLLAIRE i.'t Si l’équation (i) n’a pas de racines réelles comprises entre les limites xa , X , les deux quantités
/(*.). /(*) ■ seront de même signe.
Corollaire i‘ Si dans l’énoncé du théorème i .,r l’on remplace la fonction f ( x ) par
[b désignant une quantité constante], on obtiendrajîrécisément le 4*c théorème du chapitre II [§. 2]. Dans la meme hypothèse , en suivant la méthode ci-dessus indiquée , on déterminera numériquement les racines de l’équation
comprises entre xa et X.
464 note ut.
Nota. Lorsque l’équation (1) a plusieurs racines comprise# entre xa et X, en calculant les séries (2) et (}) on n’est pas toujours assuré d’obtenir la plus petite ou la plus grande des racines dont il s’agit. Mais on peut arriver à ce but en suivant une autre méthode dont M. Legendre a fait usage dans le Supplément à la Théorie des nombres. Cette seconde méthode se déduit immédiatement des deux théorèmes que je vais énoncer.
2.c Théorème. Supposons , comme dans te théorème 1 , que la fonction f (x) reste continue depuis x = x0 jusqu’à x =* X [ X étant supérieur à xa] ; et désignons par 0 (x) , x (*) • deux fonctions auxiliaires, également continues dans l' intervalle dont il s’agit , mais de plus assujetties , à croître constamment avec x dans cet intervalle , 2.‘ à fournir pour la différence
une expression variable , qui , d’abord négative lorsqu’on attribue à x la valeur particulière x0 , demeure toujours égale ( au signe près ) à /(x). Si l’équation
a une ou plusieurs racines réelles comprises entre x. et X , les valeurs de x représentées par
(6) Xa , X t , Xx , J y , &c. . . . ,
et déduites les unes des autres par le moyen des for- ■ mules
composeront une série de quantités croissantes dont le
terme général convergera vers la. plus petite de ces racines. Si au contraire l’équation (i) n'a pas de racines réelles comprises entre xa et X , le terme général de la série (6) finira par surpasser X.
DÉMONSTRATION. Admettons en premier lieu que l’équation f (x) =ro ait une ou plusieurs racines réelles comprises entre les limites x„ , X ; et désignons par a la plus petite de ces racines. On vérifiera l’équation dont il s’agit, ou, ce qui revient au même, la suivante
en prenant xz=a; et l’on aura en conséquence
De plus , la fonction x ( x ) étant constamment croissante aveé x depuis x=x0 jusqu’à x=X , et a surpassant x0, l’on aura encore
Jt(«) > * (O-
En combinant les deux dernières formules avec la première des équations (7) , savoir ,
on en conclura
et par suite
De même, en combinant les trois formules
dont la seconde se déduit immédiatement de la formule (9) , on trouvera
TOM. I. . Gf
9 (a) > 9 (xJ ,
et par suite
En continuant ainsi , on s’assurera que tous les termes de la série (6) sont inférieurs à la racine a. J’ajoute que ces difierens termes composeront une suite de quantités croissantes; et en efièt , puisque la différence
est négative par hypothèse pour x — X,, on aura
mais x ( x «) — 9 (*,) i ^onc
De plus, x, étant compris entre x„ et a, aucune racine réelle de l’équation 9 (•*) — x(x) — ° ne se trouvera renfermée entre les limites xD , x, ; et par conséquent [voyez le théorème i.er, corollaire i .er]
9 O.) — X Oo) » *(*,) — xOO
seront des quantités de même signe , c’est-à-dire , toutes deux négatives. On aura donc
et par suite [à cause de x (*,) == 9 (*,)]*
Sic. . . . Donc enfin les quantités
x0, x , , xlf &c
formeront une série dont le terme général x„ , croissant constamment avec n , sans pouvoir jamais surpasser la racine a , convergera nécessairement vers une limite égale ou inférieure à cette racine. Nommons / cette limite. Comme , en vertu des équations (7), on a, quel que „ soit n >
on en conclura , en faisant croître n indéfiniment , et passant aux limites ,
La quantité / sera donc elle-même une racine de l’équation ( 1 ) ; et , puisque cette quantité sera plus grande que x, , sans être supérieure à la racine a, on aüra évidemment
Admettons, en second lieu, que l’équation (1 ) n’ait pas de racines réelles comprises entre xn et À'. On prouvera encore dans cette hypothèse , que le terme général xn de la série ( 6 ) croit constamment avec n , du moins tant que ce terme reste inférieur à JC. En effet, tant que cette condition sera remplie, la différence
sera [ théorème 1 .cr , corollaire 1 .er ] de même signe que
9(*.) — zM>
c’est-à-dire , négative , et par suite on établira comme cidessus les formules (11), (12), &c. ... De plus, x„ ne pourra converger vers une limite fixe l inférieure à X,
Gg*
NOTE If I.
puisque l’existence de cette limite entraînerait évidemment l’équation ( i 3 ) , et par suite l’existence d’une racine réelle comprise entre x„ et X. Donc il faudra nécessairement , dans l’hypothèse admise , que la valeur de x, finisse par surpasser la limite X.
COROLLAIRE /." Les conditions auxquelles les fonctions auxiliaires p (x) , x(x) sont assujetties dans l’énoncé du 2/ théorème, peuvent être remplies d’une infinité de manières. Mais, parmi le nombre infini des valeurs que l’on peut attribuer à la fonction <p ( x ) , il importe d’en choisir une qui permette de résoudre facilement les équations (7) , c’est-k-dire , en général , toute équation de la forme •
<p (x) = constante.
La valeur de <p (x) étant choisie , comme on vient de le dire, on calculera sans peine les différens termes de lasérie (6), et il suffira de chercher la limite vers laquelle ils convergent pour obtenir la plus petite des racines de l’équation ( 1 ) comprises entre xa et A'. Si ces mêmes termes finissent par surpasser X, l’équation fi) n’aura pas de racine réelle dans l’intervalle de x. à X.
Corollaire 2 .' Si l’on prend
et si de plus l’équation ( t ) admet des racines positives , les quantités x, , x,, &c. . . . seront toutes inférieures à la plus petite racine de cette espèce , et en fourniront des valeurs de plus en plus approchées.
3.e Théorème. Supposons , comme dans le théorème / ." , que la fonction f (x) demeure continue depuis x=sx, jusqu’à x = X [X étant supérieur à xJ;
note utf * 46 9
et désignons par <p(x), X(x) deux fonctions auxiliaires également continues dans l’intervalle dont, il s’agit, mais, de plus assujetties , i.° à croître constamment avec x dans cet intervalle , 2." à fournir pour la différence
une expression variable qui devienne positive lorsqu’on attribue à x la valeur particulière X , et demeure toujours égale [au signe près ] à /(x). Si l’équation
a une ou plusieurs racines réelles comprises entre x„ et X , les valeur g de x représentées par
et déduites les unes des autres par le moyen des formules.
(,6) f(X') = x(X), 9(X')=x(*l, HX"‘) = X(^)> &c...
composeront une série de quantités décroissantes dont le ferme général convergera vers la plus grande de ces racines. Si au contraire l'équation ( i ) n’a pas de racines réelles coniprises entre x„ et X , le terme général de la série (i j ) finira par s’abaisser au-dessous
dê xa.
La démonstration de ce troisième théorème est tellement semblable à celle du second, que , pour abréger, nous nous dispenserons de la rapporter ici.
Corollaire i.,r Parmi le nombre infini de valeurs qu’on peut attribuer à la fonction ip (.f) de manière à remplir les conditions exigées , il importe d’en choisir une qui permette de résoudre facilement les équations
NOTE ÏIÏ.
(16), c’est-à-dire, en général, toute équation de îa forme <P (#) = constante.
La valeur de p (x) étant choisie comme on vient de le dire, on calculera sans peine les différens termes de la série (15), et il suffira de chercher la limite vers laquelle ils convergent pour obtenir la plus grande des racines de 1 équation (1) comprises entre xa et X. Si ces mêmes termes finissent par s’abaisser au-dessous de x0, l’équation (1) n’aura pas de racine réelle dans l'intervalle de x0 à X.
Corollaire 2' Si, l’équation (1) ayant des racines positives, X surpasse la plus grande, racine de cette espece , les quantités X 1 , X" , &c. . . . resteront toutes supérieures à cette même racine , et en fourniront des valeurs de plus en plus approchées.
SCHOLIE i.,r Si l’équation (1) n’a qu’une seule racine réelle a comprise entre x„ et X , les termes généraux des séries (6) et ( 1 5 ) , dont la première est croissante , et la seconde décroissante , convergeront vers une limite commune égale à cette racine. Alors, si l’on prolonge *ces séries jusqu’aux termes * «
*, et XMt
puis , que l’on prenne la demi-somme de ces deux termes pour valeur approchée de la racine a, l’erreur commise sera plus petite que
SCHOLIE 2.‘ Pour montrer une application des principes que nous venons d’établir, considérons en particulier l’équation
nt désignant un nombre entier quelconque, et *
des quantités positives ou nulles. Comme le premier membre de cette équation est négatif pour x — o , et positif pour de très -grandes valeurs de x, il en résulte quelle a au moins une racine positive et finie.De plus, eette même équation ne différant pas de la suivante
dont le second membre reste invariable , tandis que le premier décroît constamment pour des valeurs positives et croissantes de x , n’admettra évidemment qu une seule racine réelle et positive. Soit a cette racine , et A le plus grand des nombres
enfin désignons à l’ordinaire une moyenne entre ces nombres par la notation •
M(At, A1} ...i Am t, Am).
On tirera de l’e'qüâtion (17), en y faisant x = a , puis ayant égard à la formule (il) des préliminaires,
am — A, am~' -h A, a1-* -+• -+-Am, a-hA„
= (aw— 0™“*-+-. • .-4-Æ-Hi) » ^1 » • • * “^w— t » ^m)
— — — M ÇA, , A t-, ... Am, , Am) < A . — ,
et par suite
Par conséquent la racine positive de l’équation (17) sera comprise entre les limites o et A 1 . D’un autre côté, comme , en désignant par
Aram’r et A.a”-'
le plus petit et le plus grand des termes renfermés dans le polynôme
A- am~' -4- Ax -+- -f- Am, a Am,
et par n = ou < m le nombre de ceux qui dilïèrent de zéro , on aura évidemment
• am > nAram~r,
am < nA,am j,
et par suite
a >* (nA,)',
a < (nA,)~,
il est clair que la racine a sera comprise entre le plus petit et le plus grand des nombres ♦
(19) nA,, ( nA ,)', ( nA})l, ,..(nAm)K
Enfin, puisqu’en vertu du théorème j." [corollaire 1."], le premier membre de lequation (17) restera négatif depuis 1 = 0 jusqu à x = a, et positif depuis x = a jusqu à x = 00 , il en résulte qu’on pourra choisir encore pour limite inférieure de la racine a. le plus grand des nombres entiers qui rendent négative l’expression
(20) A . x- Ax Ain, * Am ,
et pour limite supérieure le plus petit de ceux qui la
rendent positive. Soient maintenant
les deux limites inférieure et supérieure calculées d’après l’une des règles que nous venons d’indiquer. Si l’on fait en outre
(2l) <p(x)=xm, x(x) = A txm-'-+-A . .+An, x-hA m ,
les théorèmes 2/ et 3." seront applicables à l’équation (17); et comme , dans cette hypothèse , chacune des équations (7) ou ( 1 6) se trouvera réduite à la forme
xm = constante ,
il deviendra facile de calculer les quantités comprises dans les deux séries
X, A" , X", A"', &c.... , xa, x, , . x ,, x)} &c.... ,
dont les termes généraux seront les valeurs approchées en plus et en moins de la racine a.
SCHOLIE 3 / Considérons encore l’équation
(22) xm -+- A , ar™-' -+- Ax xm-* + ....+ Am , x — Am = o ,
m désignant toujours un nombre entier , et
des quantités positives ou milles , dont la plus grande soit égale à A. En prenant A pour inconnue, on pourra présenter cette équation sous la forme suivante
qui est pareille à celle de l’équation ( 1 7). On en conclura' que l’équation (22) admet une seule racine positive inférieure au quotient
et que cette racine est comprise non -seulement entre la plus petite et la plus grande des quantités
A - ( A tn Ÿ ( A" ^ *
’ V J » ^ nA„} J v •
[ « = ou < n» représentant le nombre des termes variables renfermés dans le premier membre de l’équation (22)], mais aussi entre le plus grand des nombres entiers qui rendent négative l’expression
(26) x”' A- A t xm~‘ -h A J i"-' -+• -H Am, x — Am ,
et le plus petit de ceux qui la rendent positive. Après avoir fixé, d’après ces remarques, deux limites en plus et en moins de la racine en question , il suffira , pour en approcher davantage, d’appliquer les 2.* et j.c thébrèmes à l’équation (23), en y regardant eorruqe l’inconnue qu’il s’agit de déterminer.
SCHOLIE 4‘ Si l’équation ( 1 ) avait deux racines, réelles comprises entre xa et X , mais extrêmement rapprochées l’une de l’autre , les termes généraux des séries (6) et ( 1 5 ) paraîtraient au premier abord converger vers la même limite , et l’on pourrait prolonger long-temps les „ deux séries avant de s’apercevoir de la différence entre les limites vers lesquelles ils- convergent effectivement. La
même remarque est applicable aux séries (2) et (3). Par conséquent les méthodes de résolution fondées uniquement , sur le théorème 1 , ou bien sur les théorèmes 2/ et 3.'.
ne sont pas propres à faire connaître , dans tous les cas , le nombre des racines réelles d'une équation numérique ; mais elles fourniront toujours des valeurs aussi approchées que l’on voudra de toute racine réelle qui se trouvera seule comprise entre deux limites données.
Dans le cas particulier où l’équation numérique que Ton considère a pour premier membre une fonction réelle et entière de la variable x, on peut tout-à-Ia-fois , ainsi que M. Lagrange l’a fait voir , déterminer le nombre des racines réelles et calculer leurs valeurs approchées. Pour atteindre facilement ce but, il convient de réduire d’abord lVquation proposée à n’avoir que des racines inégales , en opérant comme il suit.
Soit; *
l’équation donnée. Désignons par a, b, c, ... ses diverses racines réelles ou imaginaires, et par m le degré de son premier membre , dans lequel nous supposerons le coefficient de fa plus haute puissance de x réduit à l’unité. Enfin soit m' le nombre des racines égales à a, m" le nombre des racines égales à b, m"‘ le nombre des racines égales à c , &c.,„ On aura
(28) ïm'4- ni" -h . . . — m et
(29) F(x) — (x—ajn‘ (x—b)n" (.r — e)m" ... ■
On en conclura , en désignant par z une nouvelle variable ,
Si maintenant on fait
(3 i j F(x^-z)=zF{x)-\-zFi{T)-i-z1 ,
«t que I on développe les expressions <
(^~y> 0*^rT<
suivant les puissances ascendantes de z, l’équation (30) deviendra
•v* ~tw
. . / T» ni' m'“ \
— 1 ■+■ \ - — H -=r H J + fic ;
puis, en égalant de part et d’autre les coefficiens de la première puissance de z, on trouvera
Comme la formule précédente a pour dernier membre une fraction algébrique évidemment irréductible, il en résulte qu’il suffit de diviser le premier membre F (ce}' de l’équation (27) par le plus grand commun diviseur des deux polynômes F (x) , Ft ( x ) pour ramener cette équation à la suivante .
qui n'a pîuS que des racines inégales.
Nous ne nous arrêterons pas à faire voir comment on pourrait déduire des mêmes principes diverses équations dont les racines, toutes inégales entre elles, seraient équivalentes, tantôt aux racines simples, tantôt aux racines doubles , tantôt aux racines triples, &c... de la proposée.
Nous ajouterons seulement ici quelques remarques relatives au cas où l’on suppose immédiatement toutes les racines de l’équation (27) inégales entre elles. Chacun des nombres m' , m", m'", &c. . . se réduisant alors à l'unité, '
on tire de la formule (32)
(34) = (x— iX-r— cj...+(x— «)(*— c)...+(jr— o)Cr— >
«t par suit»
IF, ( a ) = (a — b) (a — c) . . . ,
Ainsi, dans l’hypothèse admise, le produit dQ carrés des différences entre les racines de l’équation (27) sera équivalent [abstraction faite du signe] au produit
'F,(a).FXb).F,(c)....,
et par conséquent au dernier terme de l’équation en s que fournit l’élimination de x entre les deux suivantes
de sorte qu’en appelant H la valeur numérique de ce
dernier terme, on aura
(38) ( a — b)l(a — — c)*... = rfc U.
Dans la môme hypothèse, les valeurs de F, (a), F, {b),
&c données par les formules (35) n’étant jamais
nulles , si l’on désigne par a une racine réelle de l’équation (27), il suffira d’attribuer au nombre et des valeurs très-petites pour que les deux quantités
F(a-\- et) = et F, (a) -h et* Fa(a) -+- &c. . . .
F (a — et) = — et F, (a) -+- et* F, (a) — &c. . . .
soient de signes contraires. De plus , si l’on représente par xa , X deux limites inférieure et supérieure entre lesquelles la seule racine réelle a se trouve comprise , en vertu du théorème 1." [coroll. i.cr], F{X) sera de même signe que F(rr-t-et), F(x0) de même signe que F(a — et), et par suite les deux quantités
seront de signes contraires.
Lorsque l’équation (27) n’a pas de racines égales, ou quelle a été débarrassée de celles qu'elle pouvait avoir , il devient fiçile de déterminer pour cette équation nonseulement deux limites entre lesquelles toutes les racines réelles se trouvent renfermées , mais encore une suite de quantités qui , prises deux à deux , servent de limites respectives aux dilTérentes racines de cette espèce, et enfin les valeurs aussi approchées que l’on voudra de ces mêmes racines. C’est ce que nous allons établir , en résolvant l’un après l’autre les trois problèmes suivans.
1." PROBLEME. Déterminer deux limites entre lesquelles toutes les racines réelles de l’équation
se trouvent renfermées.
Solution. F(x) étant par hypothèse un polynôme réel, du degré m par rapport à a;, et dans lequel la plus haute puissance de x a pour coefficient l’unité , si l’on désigne les coefficiens successifs des puissances inférieures par
Cl , • 77, « 1 » • • • Cl « Cl y
et les valeurs numériques de ces mêmes coefficiens paï-
en aura identiquement
F(x) = xm -+- a , xm~‘ a2 x”-1
— xmztA1xm-‘±A1xm~1±...±Am lx±An.
Soit maintenant k un nombre supérieur à la racine positive unique de l’équation (17) [3.' théor. , scholie 2]. Le polynôme (20) sera positif toutes les fois qu’on' supposera 'X^=zk ou > k. Par suite, il suffira d’attribuer à x une valeur numérique plus grande que le nombre k , pour que la somme des valeurs numériques des ternies
A'Xn
, Axx
devienne inférieure à la valeur numérique de xm. Il en résulte que le premier membre de l’équation (27) ne pourra jamais s’évanouir , tant que la valeur de x sera située hors des limites
Donc toutes les racines positives ou négatives de l’équation (27) ser<?nt comprises entre ces mêmes limites.
SCHOLIE r." Le nombre k étant assujetti à la seule Condition de surpasser La racine positive de l’équation (17), on peut le supposer égal soit à la plus grande des expressions (19), soit au plus petit des nombres entiers qui , substitués à la place de x dans le polynôme (20) , donnent un résultat positif.
ScHOLlE 2/ On peut aisément s’assurer que le nombre k, déterminé comme on vient de le dire, est supérieur non-seulement aux valeurs numériques des racines réelles de l’équation (27) , mais encore aux modules de toutes les racines imaginaires. En effet, soit
X = r ( cos. t — J— y/ — t sin. t )
une semblable racine. On aura en même temps les deux équations réelles
r^cos. mt± A lrm~‘ cos. (wi— i)f :± At r”*-' cos.(»i— î)/db...
• ± A„t r cos. t d; Am — o ,
r”1 sin. t Ht A , rm-‘ sin. (m — i ) t dz A , rm-*sin. (i n—i) t ± . . . dzAm l rsin. (é= o -,
et , en ajoutant la première équation multipliée par cos. ml à la seconde multipliée par sin. ml , on en conclura
r” ± A, r™~' cos. t dz A t rn~l cos. it dt
d: Am, r cos. (m — 1) t zàz A„ cos. mt = o.
Or il est clair qu’on ne saurait satisfaire à cette dernière équation en supposant r>k, puisque dans cette hypothèse la valeur numérique de rm surpasse la somme des valeurs numériques des termes
jü, r
et à plus forte raison la somme des valeurs numériques que ces mêmes termes acquièrent lorsqu’on les multiplie par des cosinus.
SciIOLlE 3.' En comparant avec le polynôme (26) les premiers membres des équations (27) et (4o) , on prouverait facilement que , si l’on désigne par g un nombre inférieur à la racine positive unique de l’équation (22), g sera une limite inférieure non - seulement aux valeurs numériques de toutes les racines réelles de l’équation (27) , mais encore aux modules de toutes les racines imaginaires. C’est ce qui arrivera , par exemple , si l’on prend pour g la plus petite des expressions (25), ou le plus grand des nombres entiers qui, substitués à la place de x dans le polynôme (2 6), donnent un résultat négatif. Le nombre g étant déterminé comme on vient de le dire , toutes les racines positives de Icquation (27) se trouveront comprises entre les limites
et les racines négatives de la même équation entre les limites '
SCHOLIE 4.' Lorsqu’on se propose seulement d’obtenir une limite inférieure à la plus petite des racines positives ou supérieure à la plus grande , on peut quelquefois y parvenir en s’appuyant sur le corollaire du 1 7.* théorème [note précéd.]. Supposons , en effet , que tous les termes du polynôme F (a?) , à l’exception 'd’un seul , soient de même signe. L’équation (27) prendra la forme suivante
[xm-+-A lxm~'
( ■+-4m ixH-Am = AJx—'.
Soit maitenant n le nombre des termes qui dans le pre-
Tom. I. Hh
mier membre de l’équation (4 3) ne se réduisent pas à
zéro, et
la moyenne géométrique entre ces termes , B désignant fet moyenne géométrique entre leurs coefficiens. En vertu du corollaire du théorème 1 7 [note II], toute valeur réelle et positive de x propre à vérifier l’équation proposée , ou , ce qui revient au même , à lui servir de racine , satisfera nécessairement à la condition
A, xm~‘ > n B x* ,
et par conséquent à l’une des deux suivantes,
savoir, à la première, si m— s surpasse fx , et à la seconde , dans le cas contraire. II est bon d’observer que , si le nombre s s'évanouit, A, se réduira au coefficient de xn , c’est-à-dire, à l’unité.
SdlOLlE j.' Il est encore facile d’obtenir deux limites , fune inférieure, l’autre supérieure aux racines positives de l’équation (27), par la méthode que je vais indiquer. On observera d’abord que toute équation dont le premier membre n’offre qu’une variation de signe, c’est-à-dire, toute équation qui se présente sous la forme
A0xm->rAlxm-'-h. . — &c.... =0.
ou sous la suivante
—A0xm~Alxm~'—. . -+- &c. . . . =0,
[A„A , ... A%, A„,, &c. . . . désignant des nombres
quelconques], n'admet qu’une racine positive, évidemment égale à la seule valeur positive de x pour laquelle la fraction
qui croît sans cesse depuis x=o jusqu’à x = oo , puisse se réduire à l’unité. Par conséquent le premier membre d’une semblable équation aura le même signe que ses premiers ou ses derniers termes , suivant que la valeur de je sera supérieure à la racine dont il s’agit, ou comprise entre zéro et cette même racine. Cela posé , concevons que, dans le polynôme ( 3 9^ , — Asx’ soit le premier terme négatif après xm , -f- A,, xu Je premier terme positif après — A,x‘ , — Ayx ’ le premier terme négatif après Auxu , -\-Avxv le premier terme positif après — Arxv, &c.... ; en sorte que l’équation (27) devienne
xm -h- A, xm~' -+- ... — A, xm~‘ — AI+l -t-Auxm—,‘-+-AM+lxn'~'‘~l-t-..—Ayxm~'' — A^.lxm-’-‘-... -+-Awxm-"+A w+lxT-*~' -+- ± Am~ o.
On conclura des remarques précédentes , que toute valeur positive de x propre à vérifier l’équation (27) doit être 1 .° inférieure à la plus grande des racines positives des équations
xm-^A , xm~‘ -+- . . . — A ,xm~‘ — A ,+lxm—t — . . . = o * A„xm~“-^-Au+lxm'*-,-^-...-AyXm't-A,+lxm'r~,~ . . . = o,
2.0 supérieure à la plus petite de ces mêmes racines , lorsque An est précédé du signe — , et dans le cas contraire, à la plus petite des racines positives des équations de la forme
Ilh *
-A rxm r-A . . -+ -A„xm'w-t- A w+lxm-'r~‘-i- . .=o, &c
Quelquefois les deux conditions qu'on vient d'énoncer s’excluent mutuellement ; et alors on peut affirmer que {'équation (27) n’a pas de racines positives.
2.* Problème. Trouver le nombre des racines réelles de V équation (27) > avec une suite de quantités qui , prises deux à deux , servent de limites à ces mêmes racines.
SOLUTION. Nous supposerons l’équation (27) réduite à n’avoir que des racines inégales. Alors, si l’on désigne par k [ voy. le problème précédent ] une limite supérieure aux valeurs numériques de toutes les racines réelles , par h un nombre moindre que la plus petite différence entre cès racines, enfin par kt , ... km d’autres
nombres tellement choisis que dans la suite
(46) k , k , , A'a, ... kn , o, knf ... k z , À", , k ,
la différence entre un terme et celui qui le précède soit toujours une quantité positive égale ou inférieure à A, il est clair que deux termes consécutifs de la suite (46) ne comprendront jamais entre eux plus d’une racine réelle. D’ailleurs, lorsqu’on substitue à la place de x dans le polynôme F(x) deux quantités entre lesquelles une Seule racine réelle au plus se trouve renfermée , les résultats obtenus sont de même signe ou de signes contraires; pour parler autrement, la comparaison de ces deux résultats offre une permanence de signe , ou une variation de signe , suivant qu’il n’existe pas de racine réelle, ou qu’il en existe une entre les deux quantités
dont il s’agit. Par conséquènt , si l'on prend les termes de la suite (46) pour des valeurs successives de la variable x , et que l’on forme la suite des valeurs correspondantes du polynôme F(x) , cette «ouvelle suite offrira précisément autant de variations de signe que l'équation (27) a de racines réelles, et chacune de ces racines sera comprise entre deux valeurs consécutives de x qui , substituées dans F(x ), donnent des résultats de signes contraires. Ainsi toute la difficulté consiste à trouver pour le nombre h une valeur convenable. On y parvient de la manière suivante.
Désignons par H la valeur numérique du dernier terme de l’équation en z que fournit l’élimination de x entre les formules (37). Le nombre //, ainsi qu’on l’a déjà remarqué, sera équivalent [abstraction faite du signe] au produit des carrés dés différences entre les racines
réelles ou imaginaires de l’équation (27). Par suite H 1 sera équivalent au produit des modules de ces différences [ le module de chaque différence réelle n’étant autre chose que sa valeur numérique]. Cela posé, soient a, b deux, racines distinctes de l’équation (27). Si ces deux racines sont réelles , chacune d’elles ayant alors une valeur numérique inférieure à k, la valeur numérique de leur différence, c’est-à-dire, la différence ou la somme de leurs valeurs numériques ne surpassera jamais 2 k. Si au contraire chacune de ces racines ou l’une d’elles seulement devient imaginaire , on pourra , en désignant par r, , rx leurs modules, et par £,, t2 deux arcs réels, supposer
a = rt (cos. -+• y/ —\ sm. t, ) ,
b = r, (cos. t2 -t- y'^T ) ;
et l’on en déduira , « <
a — b = r, eos. ft — r, cos. tx -+- (r, tin. *, — rM tin. t ,) ,
mod, (a — b) = [(r.cos.ï, — r4eos.f4)* -(-(r^in.ï, — r, *in./,)a] ~
== ['•«*-ÿIr,cos.(*I~t4)+r1J] r<(ri*4.lrir>+ri») i -
On aura donc
« mod. ( a — i) < r , -+•- r, ; et par suite
(4 7) wmx/. (a — 5) < 2k,
pourvu que le nombre k ait été choisi , comme dans le premier problème, de manière à surpasser non-seulement les valeurs numériques de toutes les racines réelles , mais encore les modules de toutes les racines imaginaires. On prouvera de même que chacune des différences
a pour module un nombre inférieur à 2 k ; et l’on en conclura que , si , après avoir formé tous les modules de cette espèce en nombre égal à — , on met de côté
l’un d’entre eux, par exemple, le module de la différence a — b , le produit de tous les autres sera un nombre inférieur à l’expression
tS *
Donc , si l'on multiplie cette expression par le module de la différence a — b , on trouvera un résultat plus grand que le produit des modules de toutes les différences ,
c’est-à-dire , un résultat plus grand que H 1 . En d’autres termes, on aura
m fm- ’ ) • l
(2 k) 1 ' x mod. (a — b) > H 1 ;
ou, ce qui revient au même.
(48) mod. (a b) > . :
Lorsque les racines a èt b sont réelles , le module de la différence a — b se réduit à sa valeur numérique. Par conséquent on obtiendra un nombre h inférieur à la plus petite différence entre les racines réelles de l'équation (27), si l’on pose
SCHOLIE i.,T II serait facile de prouver que , si chacun des nombres A, , A ,, ... Am [ i.er problème] est entier, le nombre H le sera également. Par suite, da,ns cette hypothèse, le nombre H , qui ne peut s’évanouir tant que les racines de l’équation (27) restent inégale* entre elles , aura une valeur égale ou supérieure à l’unité. Cela posé, la formule (48) donnera
(50) mod.(a— b) > ;
et l’on en conclura que , pour obtenir un nombre h inférieur à la plus petite différence entre les racines , il suffit de prendre
SCHOLIE 2.' Soit (J2) Z = O
1 équation en 2 que fournit l’élimination de x entre les formules (57). Si, par la méthode ci-dessus indiquée { 1 .** problème , scholie 3 ] , on détermine une limite G inférieure aux modules de toutes les racines réelles ou
488 NOTE IIK
imaginaires de i’équation (52), on aura, en désignant toujours par a, b , c , ... les racines de 1 équation (27*),
mod. F, (a) > G ,
ou, ce qui revient au même [ voy.les équations (35)], * mod. (a — i)(a — c).u. > G.
On en conclura ,
mod. (a — l) >
mod. (a — c) . . . . * Y:. '
et par suite
(î 3) « mod- (a~b) > (2/t)w=s- .
puisque les différences
qui renferment la racine a combinée successivement avec toutes les autres , sont au nombre de m — 1 , ou , si l’on met de côté la différence a- b, au nombre de m — 2. Cela posé, il est clair que le nombre .4 satisfera encore aux conditions requises, si l’on prend *
1 SCHOL1E 3/ Après avoir déterminé 4 par l’une des méthodes précédentes, on pourra choisir pour la suite des nombres
une progression arithmétique décroissante dont la différence soit égale ou inférieure à 4, en se bornant toutefois aux termes de cette progression qui restent compris entre les limites o, k. De plus, si l’on désigne par g [voyez le i.cr problème, scholie 3 ] une limite inférieure aux valeurs numériques de toutes les racines réelles de
l'équation (27) , on pourra évidemment dans la suite (46) supprimer tous les termes positifs ou négatifs dont les valeurs numériques seront plus petites que g , en écrivant à la place les deux seuls termes ~ g > H* g-
La suite (46) étant modifiée comme on vient de le dire , on substituera successivement dans le polynôme F (ri), 1 ,° les termes négatifs de cette suite depuis — k jusqu’à — g, 2.* les termes positifs depuis -f- g jusqu’à -\-k ; et toutes les fois que deux termes consécutifs de la première ou de la seconde espèce fourniront des résultats de feignes contraires, on sera certain qu’une racine réelle, négative dans le premier cas, positive dans le second, est renfermée entre ces deux termes.
SCHOL1E 4.’ Lorsque par un moyen quelconque on a déterminé , pour l’équation (27) , une valeur approchée en plus ou en moins de la racine réelle a, on peut dans un grand nombre de cas obtenir de la même ra- • cine une valeur approchée en sens contraire , et fixer deux limités , l’une plus grande que les racines réelles inférieures à a , l’autre plus petite que les racines réelles supérieures, en s’appuyant sur la proposition que je vais énoncer.
Représentons à U ordinaire par
F, (ri) , F2(ri), F3 (x) , &c....
les cocfficiens des 17* , 2' , 37 , ... puissances de à dans le développement de F (x-hs) ; par a , b , c , .... les diverses racines de l’équation (27), et par k un nombre supérieur à leurs modules. Supposons en outre que , la quantité § étant une valeur approchée de la racine réelle a , la différence a — et la quantité <*
NOTE IIÎ.
déterminée par l’ équation
et
Fil)
FJl)
soient assez petites [abstraction faite des signes] pour que dans le polynôme
(j 6). /^®+*(î*)^Æ+3(ia)IF3(&+4(2*)ÎF+(D+&c-* • • la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs numériques de tous les autres. Enfin désignons par G un nombre inférieur à l’excès de la première valeur numérique sur la somme dont il s’agit. On sera certain , 1 ° que la racine réelle a se trouve seule comprise entre les limites
2.' que la différence a — b ou b— a entre la racine a et une nouvelle racine réelle b ne peut surpasser
(S7) (tk)m~r •
Pour démontrer la proposition précédant», nous observerons d’abord que dans l’hypothèse admise, le polynôme (56) étant de même signe que son premier terme , on pourra en dire autant à fortiori des deux polynômes
qu’on obtient en développant les fractions
F(l-za) Fit + ia) a. ’ a. ’
suivant les puissances ascendantes de et , et ayant égard à l’équation (55). Par suite , les premiers termes des deux polynômes étant de signes contraires , il en sera de
NOTE III. 49t
même des deux fractions, et de leurs numérateurs 2*), F (lH-201).
If y aura donc au moins une racine réelle de l’équation (27) entre les limites
2Ct,
J’ajoute qu’il n’y en aura qu’une ; et en effet , il est facile de voir que , si plusieurs racines réelles étaient renfermées entre ces limites , en désignant par a et b deux semblables racines prises à la suite l’une de l’autre , on trouverait pour les valeurs des expressions
deux quantités de signes contraires. Par conséquent l’équation
(ÎS>) ’*.(») = o
aurait une racine réelle comprise entre a et b , laquelle serait de la forme
la quantité 2 étant renfermée entre les limites — 2 au , -+-2 «U Or, c’est ce qu’on ne peut admettre. Car, si l’on remplace dans la formule (31)2 par , et que
ion développe le premier membre de cette formule ainsi modifiée suivant les puissances ascendantes de y , on en tirera
F (•*■ -4- 2) y F t (j? z ) ôic
puis, en égalant de part et d’autre les coeüiciens de 1a première puissance de y, ,
An
F, (x-t-s) es
Par suite, le développement de
deviendra
(62) FI(0+wF1(|)H-3Z*F}(e)-l-4^F4(|)4-&C... ;
et, comme dans le polynôme ($6) la valeur numérique du premier te» me surpasse la somme des valeurs numériques de tous les autres , il en sera de même à fortiori du polynôme (62), tant que la valeur numérique de z sera supposée inférieure à celle de 2 et. Il en résulte que , dans cette hypothèse , l’expression (61) ne saurait s’évanouir. Donc l’équation ( 5 9) n’a pas de racines réelles comprises entre les limites £ — 2ct, £-j-2otf et l’équation (27) n’en a qu’une entre ces limites. La racine dont il s’agit est nécessairement celle qui s’approche le plus de la quantité f , et que nous avons désignée par a. D’autre part, comme la fraction F (£-+-
équivalente au second des deux polynômes (58), est de même signe que le premier terme de ce polynôme , savoir ,
on doit en conclure que
• r F(f) et F(| + 2Gt)
sont deux quantités’ de signes contraires , et que la racine a se trouve resserrée entre les deux limites
Quant à la seconde partie de la proposition ci-dessus énoncée, elle est une conséquence immédiate du scholie 2.c, puisque la quantité G restera évidemment inferieure [abstraction faite du signe] au polynôme (62), c’est-à-dire, au développement de F , (ç-(— 2 ) , tant que la valeur numérique de z ne surpassera pits celle de 2 et, et par conséquent inférieure à la quantité Ft (a) qu on déduit de en posant
II suit d’ailleurs de cette seconde partie que les racines réelles plus grandes que a sont toutes supérieures à la limite
(63) a ,-t- .(lAy»=r »
et les racines réelles plus petites que a inférieures à la limite
3.* Problème. Trouver les valeurs aussi approchées que l’on voudra des racines réelles de l’équation
Solution. On commencera par déterminer, à l’aide du problème précédent , deux limites , l’une en plus et l’autre en moins , de chaque racine réelle et positive. Supposons en particulier que la racine- a soit de cette espèce , et désignons par x0 , X les deux limites inférieure et supérieure à cette racine. Si l’on forme deux sommes différentes , la première avec les termes positifs du polynôme F(x), la seconde avec les tenues négatifs pris en signe contraire , celle qui sera la plus petite pour x = xa deviendra la plus grande pour x = X. Représentez cette somme par ( x ) et l’autre par x {x)- Les deux fonctions
49i NOTE III.
entières P(x), x(x) jouiront des propriétés énoncées dans les 2* et 3.* théorèmes ; et par suite, si la fonction <p(x) est telle qu'on puisse facilement résoudre les équations de la forme
<p ( x ) = constante ,
les formules (7) et (16) fourniront immédiatement des valeurs de plus en plus approchées de la racine a. C’est ce qui arrivera , par exemple, toutes les fois que la fonction <p (x) se présentera sous la forme
B, C, D étant trois nombres entiers quelconques , et n un nombre entier égal ou inférieur à m ; puisqu’alors on obtiendra les termes successifs des séries (6) et ( 1 5 ) par des extractions de racines du degré n. Si la fonction <p(x) n’est pas de la forme que nous venons d’indiquer, on pourra facilement i’y ramener , en ajoutant aux deux membres de l’équation
un polynôme entier 4(x) dont tous les termes soient positifs. En effet , il est clair que les valeurs de <? (x) et de jt(x), modifiées par l’addition d’un semblable polynôme, conserveront toujours les mêmes propriétés. On peut , au reste, attribuer au polynôme 40r) une infinité de valeurs différentes. Supposons , par exemple ,
La valeur de <p (x) , modifiée par l’addition du polynôme 4 {x), deviendra
si l’on suppose
eu bien
si l’on suppose
4 ( x ) = 32;1 -+- i2ar;
&e. ... Il est bon de remarquer à ce sujet , 1 .* qu’on peut toujours choisir la fonction entière 4 (#) de manière à obtenir l’unité pour le nombre B, 2.0 que dans beaucoup de cas, l’un des nombres C , D se trouvera réduit
a zéro.
Après avoir déterminé par la méthode précédente les racines réelles et positives de l’équation ( 27 ) , il suffira évidemment pour obtenir ses racines négatives de chercher par la même méthode les racines positives de l'équation
SCHOLIE. Outre la méthode d’approximation que nous venons d’indiquer , il en existe plusieurs autres parmi lesquelles on doit remarquer celle de Newton. Elle suppose que l’on connaît déjà une valeur approchée £ de la racine que l’on cherche , et consiste à prendre pour correction de cette valeur la quantité et déterminée par l’équation
Toutefois , cette dernière méthode n’étant pas toujours applicable , il importe d’examiner dans quels cas on peut l’employer. Nous allons établir à ce sujet les propositions suivantes.
4.* THÉORÈME. Supposons que , a désignant l’une quelconque des racines réelles positives ou négatives de l’équation (27) , et £ une valeur approchée de
cette, racine, on détermine et par le moyen de T équation ( 55) . Si ce est assez petit [abstraction faite du signe ] pour que dans le polynôme (5(>) la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs numériques de tous les autres , alors des deux quantités
la seconde sera plus approchée de a que la première.
Démonstration. Nous avons déjà vu [2.*probI. , scholie 4 ] que , dans l’hypothèse admise , la racine a se trouve seule renfermée entre les limites
!» % -h 2 et.
Cela posé, si l’on prend
z sera une quantité comprise entre les limites o, 20, , et propre à vérifier l’équation
ou , ce qui revient au même , la suivante ,
(67) F(£)-4-zFI(|)H-z1Fa(!)-d-& c... = o.
Si maintenant on fait pour plus de commodité
et que l’on ait égard à la formule (j 5), l’équation (67) deviendra
(69) z=<L-\- qz \ p
On aura par suite
(70) a = £-hz = %-hcL-h qz* ;
d’où il résulte qu’en prenant au lieu de f pour
valeur approchée de a, on commettra une erreur égale non plus à la valeur numérique de z, mais à celle de ÿ3l. D'ailleurs, le polynôme (j 6) étant de même signe que son premier terme Ft (|) , les deux polynômes
jouiront évidemment de la meme propriété ; ce qui exige que la valeur numérique de 2 et q, et à fortiori celle de fz, restent inférieures à j. On en conclura immédiate- ment que la valeur numérique de q zz est inférieure à celle de -z. Ainsi des deux erreurs que l’on commet en prenant
| et £ -h et
pour valeurs approchées de o, la seconde est plus petite que la moitié de la première.
SCHOLIE 1." Comme on tire de l’équation (69)
et que la valeur numérique de qz est inférieure à 4- , on est assuré que la valeur de z restera toujours comprise entre les limites
. Scholie 2’ En résolvant l’équation (69) comme si la valeur de q était connue , on trouve
* ;/i — 4. & <7 2 et
Le radical y'' ,—4 aç est ici affecté d’un double signe. Mais , puisque la valeur de z doit rester plus petite que celle de 2 et, il est clair qu’on devra préférer le signe inférieur. On aura donc
TOM. I. ii
Cela posé, » l’on nomme q0, Q, deux limites dont l’une soit inférieure et iautre supérieure à la quantité q déterminée par la formule (68), on conclura de l'équation (72), que la valeur exacte de z est comprise entre les deux expressions
, V 2 CL 2 a
1 ^hy' i -
Par conséquent cette valeur renfermera tous les chiffres décimaux communs aux deux expressions réduites en nombres.
SCHOLIE q.’ Supposons que des deux quantités qa , Q la seconde ait la plus grande valeur numérique , et que cette valeur numérique soit inférieure à l’unité. Alors, si la différence a — £ = z est [ abstraction faite du signe J plus petite qu’une unité décimale de l’ordre n , c’est-à-dire, si l’on a
la différence
val. num.
a — (| -h <*-) = qz1
sera plus petite [abstraction faite du signe] qu’une unité décimale de l'ordre 2 n ; en sorte qu’on trouvera
val. num. qz 1
Ainsi , en prenant Ç-J-ct au lieu de jj pour valeur approchée de la racine a , on doublera le nombre des décimales exactes.
Si l’on supposait la valeur numérique de Q inférieure non-seulement à l’unité , mais encore à o , 1 , on conclurait de la formule (74)
NOTF, m.
val. nnm. qz *
Plus généralement, si l’on suppose cette valeur numérique inférieure à > r désignant un nombre entier
quelconque, la formule (74) entraînera la suivante.
val. iium. qz1
Enfin, si la valeur de Q est supérieure à l’unité, inférieure à (10)'', on trouvera
val nnm.
mais
Schoue 4.' L’erreur que l’on commet en prenant £-Ht pour valeur approchée de a , ou la valeur numérique du produit qz 1 peut elle - même se calculer par approximation. En effet, si l’on a égard à l’équation (69), on trouvera * ,
qz1 — qiet-hqz1)' = qct1 -+- (2 cL)q* z1 -f- q' z4. Or , supposons la valeur numérique de 2 a , par conséquent celle de 2 , inférieure à (-^7) , et la valeur numérique de 0 , par conséquent celle de q , inférieure à (io)*r ; n et r désignant deux nombres entiers. On aura évidemment
(I \Jn±Ir
et
val. num. q' z* <
De plus, si la valeur numérique de la fraction
(78) fi (g) (g)
fi (|)
est reconnue inférieure à (io)T' , s désignant encore un nombre entier, on pourra prendre
JHÏL
pour valeur approchée du ternie y a.1 , sans craindre une erreur plus considérable que
Par suite, si l’on choisit %-\-cL — cü1 , au lieu
de ç-+-cL , pour valeur approchée de la racine a, c’està-dire , si l’on pose
(79) « = et — ce1 «
l’erreur commise sur la racine n’affectera plus que les unités décimales de l’ordre marqué par le plus grand des trois nombres
Dans le cas particulier où la valeur numérique de Q est inférieure à , et celle de la fraction (78) à
nouvelle erreur devient plus petite que
Il suffit donc alors de substituer le second membre de l’équation (79) à la quantité £ pour tripler le nombre des chiffres décimaux exacts dans la valeur approchée de a. C’est ce qui arrive encore, à très-peu près, quand le nombre n devient très - considérable. Ces résultats sont conformes à ceux que M. Nicholson a obtenus dans un ouvrage récemment publié à Londres , et qui a pour titre : Essay on involulion and évolution , frc.
5.e THÉORÈME. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent , concevons que le premier terme du polynôme (06) , c'est-à-dire , du polynôme qui représejite le développement de Fx(%-h za) , ait une valeur numérique supérieure non-seulement à la somme des valeurs numériques de tous les autres, termes , mais encore au double de cette somme. Alors, si l’on désigne par % t une quantité comprise entre les « limites
la seconde des deux quantités
sera plus approchée <J,e a que la première.
Démonstration. Pour établir la proposition quon vient dénoncer, il suffit de faire voir que la valeur numérique de la différence
est supérieure à celle de
FAÏA ’
®u , ce qui revient au même , que la fraction
a une valeur numérique inférieure à l’unité. Représentons par cette même fraction. 11 suffira de prouver que v — u et v -t- u , c’est-à-dire, en d’autres ternies ,
■ni)
et zS'.tf,) —
sont deux expressions de même signe. Or , si i on fait (81) a = Ç- 4- z et
z et C seront deux quantités de même signe comprises entre les limites o , 2 et ; et les expressions (80), après le développement des fonctions
deviendront respectivement
F, (l -4- (ff ■+- *) Fx (?) -t- (f1 -f- Ç» -4- *•) F} (?) -+- &c
Fi (|) — (£-+■*— 40F,($) — (C'-t-£*-t-as— <s£*) Fy(l) - &c... Comme , dans chacun de ces dernière polynômes , le coefficient de F„ (Ç) a une valetfr numérique évidemment inférieure à celle de l’une des quantités
h— 1 jon — 1
et par conséquent au double de la valeur numérique du produit
ll(2CL)n-\
il est clair qu’ils seront l’un et l’autre de même signe que F,(Z)> s‘ l*1 condition énoncée dans le 5 .* théorème se trouve remplie. Donc , &c. ...
SCHOLIE i.rr Les erreurs commises lorsqu'on prend successivement
et •—
Fil)
pour valeurs approchées de la racine a , sont respectivement égales aux valeurs numériques des deux quantités
