UM

<*— I. ct

note' lit.

On trouvera d’ailleurs , en ayant égard

aux formules (8 1 ),

et -

ï.dy ~~a

F.(g-t-C) puis, en développant les fonctions

i F, (S)H-(2-t-tg)F}(^)-i-(z>4-2g^}C>)F4(aH- fcc.

Cela posé , concevons que , pour toutes les valeurs de (T et de z comprises entre o et 2 ce , la valeur numérique du polynôme

(»4) F, (8 ■+■ F,(D -4- ( ® + reste inférieure à la limite 3/, et celle du polynôme

supérieure à la limite N. Si l’on a

-, et

val.

num.

n et r désignant deux nombres entiers quelconqnes , on conclura de l’équation (83) ,

(88) val. num. (a —

JÜ-4 NOTE 111.

II est essentiel de remarquer que , pour obtenir des valeurs convenables de M et de N , il suflit , i.° de remplacer dans le polynôme (84) s et C par 2 ot , puis de calculer la somme des valeurs numériques de tous les termes, 2.0 de remplacer dans le polynôme (85) C par 2 et , et de chercher ensuite la différence entre la valeur numérique du premier terme , et la somme des valeurs numériques de tous les autres.

SCHOLIE 2 .' Les mêmes choses étant posées que dans le 5.' théorème, si l’on fait successivement

rg>)

les quantités &c... seront des valeurs de plus

en plus approchées de la racine a. Si d’ailleurs on attribue aux nombres M et N les mêmes valeurs que dans le scholie i.cr, alors, en supposant

val. num. ( a on en conclura

val. nutn. ( a

val. num. (a-

val. num. («■ &c, ....

«■) < (-tir)

f.) < (ir)

Ces dernières formules renferment la proposition énoncée par M. Fourier dans le Bulletin de la Société philomatique ( livraison de mai 1818 ) , relativement au

nombre de décimales exactes que fournit à chaque opération nouvelle la méthode de Newton.

Toutes les fois que la fraction est inférieure k

l’unité , on peut prendre r = o , et par suite les différences successives entre la racine a et ses valeurs approchées

sont respectivement plus petites que les nombres

te)', te)", te)”, te)".

Donc alors le nombre des décimales exactes se trouve doublé pour le moins à chaque opération nouvelle.

Les recherches précédentes fournissent plusieurs méthodes de résolution pour les équations numéricpies. Afin de faire mieux sentir les avantages que présentent ces méthodes, je vais les appliquer aux deux équations

que Lagrange a choisies pour exemples [ Résolution des équations numériques , chap. IV ] , et dont la première a été plus anciennement traitée par Newton.

Si nous considérons d’abord l’équation (90) , nous trouverons [ j.e théorème, scholie 2] quelle a une seule racine positive comprise entre les deux limites

De plus, la valeur positive de x propre à vérifier l’équation

ir + 5 = 2 5

506 N O TF, III.

satisfera [ i problème , scholie 4 ] à la condition

2 / >7ix < X> ,

ou, ce qui revient au même, à la suivante , x > (4°)'*" = 2,09....

La racine dont il s’agit sera donc renfermée entre les nombres 2,09 et 2,1 5 ... ; en sorte que |a valeur approchée à moins d’un dixième près sera 2, 1 . Pour obtenir une valeur plus exacte, nous observerons qu’on a dans le cas présent

F (x) = x} — î x — ; , F, (x) = j x2 — 1 , F, (x) = j x , F ,(xj=i, *

et que, si l’on prend

la condition énoncée dans le 4*' théorème sera remplie. Cela posé, comme on tirera de l’équation (55)

cc = YfZz J = — 0,00543*878... ,

on trouvera pour les nouvelles valeurs approchées de l’inconnue x

| -f- et = 2,094568 t 2 1 . . . ,

f-J-ct— ((| • =|-t-ct-{ti-^|r=2,094j 5*5 -*-

Enfin , comme, la valeur exacte de x étant présentée sous la forme x—%-\ -z, z sera une quantité comprise entre les limites o , 2 et , et que par suite on aura évidemment

MS-nf» (E)