II,2J
val. num. z = val. num. (et H— qz )
< val. num. et -j— (2 et)" val. num. q < 0,0 i ,
on en conclura [ 4-' théorème, scholies 3 et 4] (lu en prenant N
on commet une erreur plus petite que c, 000 1 , et en prenant
ec = 2,0945515
une erreur plus petite que 0,00000 1 .
Au lieu d’employer les formules générales, on pourrait effectuer le calcul de la manière suivante. Après avoir trouvé 2 , 1 pour la valeur approchée de x , on fera dans l’équation (90)
et I on en tirera , en divisant tous les termes par le coefficient de z ,
0,0054? >878... -f- z -h o, 560997328 ...zz
ou, ce qui revient au même,
(93) 5 = — 0,005431878 ... -t- q Zz , la valeur de q étant déterminée par la formule
Le double du premier terme de l’équation (92) est à très-peu près 0,01 ; et, comme le premier membre de cette équation fournit deux résultats de signes contraires , lorsqu’on y fait successivement
on peut affirmer qu elle a une racine réelle comprise entre les limites o et — 0,0 i . Pour démontrer que cette racine est unique , il sullit d’observer qu'en vertu de la formule (60) l’équation
se réduit à
et que cette dernière ne saurait être vérifiée par aucune valeur de z renfermée entre les limites dont il s’agit. De plus, il est clair que, pour une semblable valeur de z, la quantité q déterminée par la formule (94) reste comprise entre — 0,560 et — 0,561 ; et, comme on tire de l’équation (93)
3 = — 0,00543 t 878 .. — 0,000029505 ..( — q) — 0,000000320 ... ( — q)1 — &c. . . . , on en conclura, 1 ." en supposant — q = o, 5 60
2* en supposant — q = o, 5 6 1
Par suite , la valeur réelle et positive de x propre à vérifier l’équation (90) sera comprise entre les limites
2,1 — 0,00544850 = 2,09455 1 50 et
Cette équation a donc une racine positive unique à trèspeu près égale à
U est d’ailleurs facile de s’assurer qu’elle n’a point de racines négatives. Car, si elle en avait une seule, on pourrait satisfaire par une valeur positive de x à la formule
et cette valeur de x [voyez le scholie 5 du 1 ." problème] serait en même temps inférieure à la racine positive de l’équation
c’est-à-dire , à
et supérieure à la racine de l’équation
* • « » . V . *• tt
c’est-à-dire , à
ce qui est absurde.
Passons maintenant à l’équation (91)» et cherchons en premier lieu ses racines positives. Pour avoir une limite supérieure aux racines de cette espèce , il suffira d’observer que, l'équation dont il s’agit pouvant se mettre sou* la forme
on en tire [ 1 problème , scholie 4 ] > en supposant x positif #
et par suite
On peut donc prendre — pour une valeur approchée de
NOTE Ht.
la plus grande racine positive. Cela posé, si l’on fait clans l'équation (9 1 )
on trouvera
(97) o»o 5 H- ; -f- 2,4o . s1 + = o , ou , ce cjui revient au même ,
la valeur de q étant déterminée par la formule
(99) ry = — 2,4o
Le double du premier terme de l’équation (97) est 0, 1 ; et, comme le premier membre de celte équation change de signe lorsqu’on passe de z=o à z = — 0,1 , tandis que le polynôme
reste constamment positif dans cet intervalle, il en résulte quelle a une racine réelle , mais une seule , comprise entre les limites o et — o, 1. La valeur correspondante de q est évidemment renfermée entre les deux quantités
et l’on tire d’ailleurs de l’équation (98)
(IOO)\ = — 0,05 — 0,002 j ( — q) — 0,0002 5 ( — q)1-
Si dans cette dernière équation on fait successivement q — — 2, )j4, q = 2,40,
on trouvera pour les valeurs correspondantes de z z — — ©,05788..., 2“ — 0,05810...;
et l'on en conclura que la plus grande racine positive de
l’équation proposée est renfermée entre les limites , /
et
Donc , si l’on appelle a cette plus grande racine, sa valeur approchée à onze cent -millièmes près sera donnée par la formule
En partant de cette première valeur approchée, on pourra par une seule opération en obtenir une seconde dans laquelle l’erreur ne portera plus que sur les décimales du douzième ordre.
Outre la racine a que nous venons de considérer, l’équation (91) admet évidemment une racine négative égale [au signe près] à la racine positive unique de l’éi quation
(102) x} — yx — 7 = o,
et par conséquent renfermée [3/ théorème, scholie 2 ] entre les limites
— />4= — 3,7416... et — {/ 14 = — 2, 4 1 . • .
Nommons c la racine négative dont il s’agit. La troisième racine b de l’équation (9 1) sera évidemment réelle et positive, puisque le produit abc des trois racines doit être équivalent au dernier terme pris en signe contraire, c’està-dire, à — 7. Déterminons à présent cette troisième racine. Pour y parvenir, on cherchera d’abord un nombre
512 note rit.
G égal ou inférieur à la valeur numérique de F, (a ) . Or , puisqu on a dans le cas présent
on en conclura
F, (a) = 3«* — 7- On pourra donc prendre
D ailleurs, en vertu de ce qui précède, on a encore
et par suite
Cela posé, on trouvera [2.* problème, schoiie 2]
et l’on aura en conséquence
Après avoir reconnu, comme on vient de le faire, que la racine b est inférieure à la limite 1 ,4o , on supposera
L’équation (9 1 ) donnera dans cette hypothèse .(103) 0,05 -Hz — 3,75 .21 — = o,
ou j ce qui revient au même,
,(98) Z — C,G5 -h qz\
la valeur de q étant déterminée par la formule
(io4) *y = 3» 75 H-tï-2-
Le double du premier terme de I équation (>03) est o, 1 ^ et, comme le premier membre de cette équation change de signe lorsqu’on passe de z=0 à z= — 0,1 ,5 tandis que le polynôme
1 — 2 x 3, 75. z — 3 x -if z1
reste constamment positif dans l’intervalle, il en résulte quelle a une seule racine réelle comprise entre les limites o , — 0,1. La valeur correspondante de q est évidemment renfermée entre les deux quantités
3,65 et 3,73.
En substituant successivement ces deux quantités à la place de la lettre q dans l’équation (100) , on obtiendra deux nouvelles limites de l’inconnue z, savoir.
et
i-wTr^ = °>°43°5 • • • J
puis l’on en conclura que la racine positive b prise entre
est com-
et
On obtiendra donc la valeur approchée de cette racine k un dix-millième près , si l’on prend
Quant à la racine négative c de l’équation (91), nous savons déjà quelle est comprise entre les limites
TOM. 1. Kk
— 3,74i6... et — 2,4.1...
On aura donc sa valeur approchée à une unité près , si on la suppose égale à — 3 . Cela posé , faisons dans l’équation (91) ,
• On trouvera
(106) 0,05-hs — 0,45 .3*-|-o,oj .3* == o ; ou , ce qui revient au même ,
(98) % = — 0,05 -hqz',
la valeur de q étant déterminée par la formule
(107) q — o, 4f — o,oj .3.
De plus , on reconnaîtra facilement 1 .° que l’équation ( 1 06) a une racine réelle , mais une seule , comprise entre les limites o , — o, 1 ; 2.* que la valeur correspondante de q est renfermée entre les deux nombres
3." que ces deux nombres substitués à la place de la lettre q dans l’équation (100) fournissent deux nouvelles valeurs approchées de 3, savoir.
et
=r — 0,o4?0 tl ...
Par suite , la valeur approcliée de c à un cent-millième près sera
Au reste, on aurait pu déduire immédiatement la valeur
approchée de c des formules (101) et (105). En effet, puisque dans l’équation (9 1) le coefficient de x 1 se réduit à zéro, on en conclut
a j l j c = o , c = — a — b ; et par conséquent , à très-peu près ,
Pour terminer cette note, nous présenterons ici deux théorèmes dont le second comprend la règle énoncée par Descartes relativement à la détermination du nombre des racines positives ou négatives qui appartiennent à une équation de degré quelconque. Dans ce dessein , nous allons tl’abord examiner le nombre des variations et des permanences de signes que peut offrir une suite de quantités , lorsqu’on suppose les différens termes de cette suite comparés l’un à l’autre, dans l’ordre où ils se succèdent.
Soit . • ... •
(109) aB, a, , s,, . . . «m, ,
la suite que l’on considère , composée de m -+- 1 termes. Si aucun de ces termes ne se réduit à zéro, le nombre des variations de signe qu’on obtiendra en les comparant deux à deux, dans l’ordre où ils se succèdent, sera complètement déterminé. Mais, si quelques termes se réduisent à zéro , comme on pourra , dans cette hypothèse , fixer arbitrairement le signe de chacun d’entre eux , le nombre des variations de signe dépendra de cette fixation même , de manière cependant à ne pouvoir s’abaisser au-dessous d’un certain minimum , ni s’élever au-dessus d’un certain maximum. Une semblable remarque peut être faite sur le nombre des permanences de signe. Ajoutons que, pour obtenir le nombre maximum des variations de signe „ il
Kk*
suffit de considérer chaque terme qui s’évanouit comme affecté d’un signe contraire à celui du terme précédent. Concevons , par exemple , que la suite ( 1 09) se compose des quatre termes
Le premier de ces termes étant positif, on obtiendra le nombre maximum des variations de signe, en considérant le second terme comme négatif, et le troisième comme positif, ou , ce qui revient au même , en écrivant
Par suite , dans ce cas particulier , le nombre maximum dont il s’agit sera égal à j. On aurait obtenu au contraire le nombre minimum des variations de signe , égal à l’unité, en affectant chaque terme nul d’un signe semblable à celui du terme précédent, c’est-à-dire, en écrivant
Ces principes étant admis, on établira sans difficulté les propositions suivantes.
6.' Théorème. Supposons que , la constante h étant réelle et positive , on multiplie le polynôme
iio) a0x m-y-a,x -y-a^ -4 -••■-*-am ix-t-am
par le facteur linéaire x -4- h . Cette multiplication ri augmentera pas le nombre maximum des variations de signe entre les coefficiens successifs des puissances descendantes de la variable x.
DÉMONSTRATION. En multipliant le polynome(i 1 o) par x~\ -h , on obtient un nouveau polynôme dans lequel les puissances descendantes de la variable ont pour coefficiens respectifs les quantités
(1 1 1} av , a^-yha,, , at-y~ha, -, ... am-+-ham l , ham. .
NOTE II |f $1?
H suffira donc de prouver que le nombre des variations de signe ne croit pas dans le passage de la suite ( 1 09) à la suite (111), lorsqu’on a porte ce nombre au maximum dans l’une et l’autre suite, en affectant chaque terme qui s’évanouit d’un signe contraire à celui du terme précédent. Or, je dis en premier lieu que, les signes étant fixés d’après celte règle, chaque terme de la suite (1 1 i)* représenté par un binôme de la forme
a -4- ha ,
prendra le même signe que l’un des termes an, an l de la suite ( 1 09). Cette assertion est également évidente dans les deux cas qui peuvent se présenter, savoir,' 1.* lorsque les deux termes an i , an sont originairement , ou en vertu de la règle adoptée , affectés de signes contraires , par exemple, lorsque a* s’évanouit; 2* lorsque, an ayant une valeur différente de zéro, a est affecté du même signe que an. En conséquence, si l’on attribue aux quantités .
( 1 1 ha0 , h a 1 , h n, , h a ^ ^ , h a m
les mêmes signes qu’aux termes correspondans de la suite ( 1 09) , on pourra , sans altérer en aucune manière la succession des signes dans la suite ( 1 1 1 ) , y remplacer chaque binôme de la forme
a -4- ha 1
par l’un des deux monomes an , ha n i. En opérant ainsi, on obtiendra une nouvelle suite dans laquelle chaque terme de la forme a se trouvera suivi d’un autre terme
égal , soit au monome an+t , soit au monome ha n qui est la seconde partie du binôme an+i -J- han, tandis que chaque terme delà forme han se trouvera suivi du monome hat^t , ou du monome vqui est la première partie
518 Kotè iii.
du irinome Cela posé, concevons que dans
la nouvelle suite on distingue , i .* chaque tenne de la forme b> auquel succède un autre terme de la forme han , 2.* chaque terme de la forme h a auquel succède un autre terme de la forme aj+i ; et soient respectivement
ttj y ïl(lu y CCr y II Q, w y ÔtC« * * .
les différens termes de l une et l’autre espece rangés d’après l’ordre de grandeur des indices qui affectent la lettre a: La nouvelle suite , composée des monomes
®OI ^I> ••• ®«4-î) ••• ®f(
Il O, y IlOv+, y • •• Il(lWy Or + yy (l „ , Ç j , &C... il Cl y, y
ne présentera évidemment que des variations de signe propres à la suite( i o<p)avec celles qui peuvent naître dans le passage de h a, à a,+3 , de hciv à , &c.„ D’ailleurs il est aisé de voir que , si les deux quantités
kau et av+t, ou , ce qui revient au même ,
Cu et aH+i
sont affectées de signes contraires, la variation de signe correspondante ne fera que remplacer une autre variation de signe propre à la suite ( 1 09) , savoir , celle qui avait lieu entre le terme a . et l’un des deux termes a , a Une remarque toute semblable s’applique au cas où les monomes kaa., sont affectés de signfes contraires} &c.... On peut donc conclure que le nombre maximum ' des variations de signe n’augmente pas, lorsqu’on passe de la suite ( 109) à la suite (1 1 3), et par conséquent à la suite ( 1 1 1 ) ; ce qu’il fallait démontrer.
Corollaire. Si l’on multiplie le polynôme (1 io) par plusieurs facteurs linéaires de la forme
x -+-A, x-+-h', x-h-h", fcc...’.,'
h, h!, h", désignant des quantités positives, on
n’augmentera pas le nombre maximum des variations de signe entre les coefficiens successifs des puissances descendantes de la variable x.
7/ Théorème. Soient, pour le polynôme
(no) F (x) = aoxm-\~a , a; 1 ,
m' le nombre minimum des permanences de signe , et m" le nombre minimum des variations de signe entre les coefficiens successifs des puissances descendantes de x. Alors dans l’équation
le nombre des racines négatives sera égal ou inférieur à m' , le nombre des racines jwsitives égal ou inférieur à m" , et le nombre des racines imaginaires égal ou supérieur à la différence
m — (w mH). ' '
DÉMONSTRATION. Pour établir la première partie du théorème, j’observe que,, si l’on appelle h, h', h",.... les racines négatives de l’équation (n4)* le polynôme F (x) sera divisible par le produit
Nommons <3 le quotient. D’après le corollaire du théorème précédent , le nombre maximum des variations de signe dans le polynôme FÇx) sera égal ou inférieur au nombre maximum de ces variations dans le polynôme Q , et par conséquent au degré de ce dernier polynôme. Par suite, le nombre minimum des permanences de signe
dans le polynôme F(x) sera égal ou supérieur à la différence entre le nombre m et le degré du polynôme Q, c’est-à-dire, au nombre des racines réelles et négatives de l’équation
Pour démontrer la seconde partie du 7.' théorème, il suffira de remarquer qu'en écrivant — x au lieu de x dans l’équation(i !<£)> on change à-Ia-fois les racines positives en négatives, les variations de signe en permanences, et réciproquement.
Enfin , comme cette équation , étant du degré m , doit avoir m racines réelles ou imaginaires, il est clair que la troisième partie du théorème est une conséquence im- • médiate des deux autres.
COROLLAIRE. Pour montrer une application du théorème précédent, considérons en particulier l’équation
(1 1 j) xm 1 = o.
On trouvera, i.° en supposant m pair,
