X.* en supposant m impair

Par suite l’équation (115) n’a point de racines réelles dans la première hypothèse , et ne peut en avoir qu’une dans la seconde, savoir, une racine réelle négative.

Sur le Développement de la Fonction alternée

DÉSIGNONS par 9 la fonction dont il s’agit. Ainsi qu’on l’a déjà remarqué [ chap. III, §.2], chaque terme de son développement sera équivalent ( abstraction faite du signe) au produit des diverses variables rangées dans un certain ordre , et respectivement élevées aux puissances marquées par les nombres

De plus , il est aisé de voir que tous les produits de cette espèce peuvent se déduire les uns des autres à l’aide d’un ou de plusieurs échanges opérés entre les variables prises deux à deux. Ainsi, par exemple, on déduira le produit

d’un quelconque des produits de même forme , en faisant passer successivement par de semblables échanges la lettre x à la première place , puis la lettre y à la seconde , puis la lettre z à la troisième , &c. . . . Comme d’ailleurs la fonction 9 change de signe (en conservant au signe près la même valeur) toutes les fois qu’on échange deux variables entre elles , on devra conclure 1 .* que le développement de cette fonction renferme tous les produits ci-dessus mentionnés, pris les uns avec ‘le signe -f-, les autres avec le signe — ; 2." que, dans le même dévelop*

peinent , deux produits , choisis au hasard , sont affectés du même signe , ou de signes contraires , suivant qu’on peut les déduire l’un de l’autre par un nombre pair ou par un nombre impair d’échanges. En partant de ces remarques, on établira sans difficulté ia proposition suivante.