THÉORÈME. Joignez au produit

tous ceux que l’on peut en déduire à l'aide d’un ou de plusieurs échanges successivement opérés entre les variables

prises deux à deux. Le nombre des produits que vous obtiendrez sera

et ils se partageront en deux classes distinctes , de telle manière qu’on ne pourra jamais déduire l’un de l’autre deux produits d’une même classe que par un nombre pair d’ échanges , ni deux produits de classe différente que par jm nombre impair d’échanges. Cela posé , si l’on ajoute tous les produits d’une classe pris avec le signe -J- aux produits de l'autre classe pris avec le signe — , on trouvera pour somme , suivant qu’on donnera le signe -H aux produits d’une classe on à ceux de l’autre , soit le développement de -+~ p , soit le développement de — ç>.

H suffit évidemment d’avoir égard à la proposition précédente pour construire le développement de la fonction alternée rt <p. Toutefois on doit remarquer encore un autre théorème, à l'aide duquel on peut décider im-

médiatement si deux produits, pris au hasard dans le développement dont il s’agit , s’y trouvent affectés du même signe ou de signes contraires. Nous nous contenterons d’énoncer ici ce second théorème , sans en donner la démonstration qu’on déduira sans peine des principes que nous avons exposés.

2.e Théorème. Pour décider si , dans le développement de la fonction alternée zL <p deux produits de la forme

sont affectés du même signe , ou de signes contraires , on distribuera les variables

en plusieurs groupes , en ayant soin de faire entrer deux variables dans un même groupe toutes les fois qu* elles porteront le même exposant dans les deux produits que l’on considéré , et formant un groupe isolé de chaque variable qui n’aura pas changé d’exposant dans le passage du premier produit au second. Cela posé , les deux produits seront affectés du même signe , si la différence du nombre total des variables au nombre des groupes est un nombre pair ; et ils seront affectés de signes contraires , si cette différence est un nombre impair.

On facilite l’usage du théorème qui précède, en écrivant les deux produits l’un sur l’autre , et rangeant dans chacun d’eux les variables d’après l’ordre de grandeur des exposans qu elles portent.

Pour appliquer à un exemple les deux théorèmes cidessus énoncés , considérons en particulier cinq variables

Le produit de leurs différences , ou , si i’on veut , la fonction alternée

(y—1) (a— *) (s— y) («*-*) (u— y) (il— a) (v—x) (n— y) (v—z) (»— u)

fournira un développement composé de cent vingt termes respectivement égaux à cent vingt produits dont soixante seront précédés du signe -f-, et soixante du signe — . L’un des produits affectés du signe -+- sera celui qui a pour facteurs les premières lettres des binômes

savoir ,

x* y ' zx u* v 4.

Pour juger si un autre produit tel que x* z' v1 u* j/4 ,

doit être pris avec le signe -f- ou avec le signe — , il suffira d’observer que, si l’on compare les deux produits dont il est ici question sous le rapport des mutations qui ont lieu entre les variables données lorsqu’on passe de l’un à l’autre , on sera conduit à partager ces mêmes variables en trois groupes , dont l’un renfermera la seule variable x , un second les trois variables y , z, v , et un troisième la seule variable u. Si du nombre des variables égal à 5 on retranche le nombre des groupes égal à j , on aura pour reste 2, c’est-à-dire, un nombre pair. Par conséquent les deux produits devront être affectés du même signe; et puisque le premier est précédé du signe — I — j le second devra letre également.

Sur la Formule de Lagrange relative à Y Interpolation.

Lorsqu’on veut déterminer une fonction entière de x , du degré n- 1 , d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues , il suffit d’avoir égard à la formule (1) du chapitre IV [§. i.,r]. Cette formule, donnée pour la première fois par Lagrange , pourrait facilement se déduire des principes exposés dans le premier paragraphe du troisième chapitre. En effet , désignons par

(i) u = a -H bx -H ex1 . .-4- hx'~' la fonction cherchée , et par

ses valeurs particulières correspondantes aux valeurs

de la variable x. Les inconnues du problème seront les coefficiens a, b , c , . . . h des diverses puissances de x dans le polynôme u ; et l’on aura, pour déterminer ces inconnues, les équations de condition

|u„ = a + ii, + c*,1 -t- A x0*“‘ ,

«, = s + Ax, -t- cx,z -h -V- Ax,8-' ,

II, s: a + 4ï, + c x/ -+- -+• A x,'”1 ,

u.i =«-+- ix,., -+- -t- -t- Ax.t’~'.

Cela posé, pour obtenir ia valeur explicite de la fonc-

tion u, il s’agira uniquement d’éliminer les coefïiciens a, b , c , ... h entre les formules ( i ) et (2). On y parviendra en ajoutant l’équation (1) aux équations ( 2 ) , après avoir multiplié ces dernières par des quantités choisies de manière à faire disparaître la somme des seconds membres. Soient

— X., —X,, —x>, ... — xn,

les quantités dont il s’agit. On trouvera

u — X0 u„ — JT.ii, — X* ut — . . . .

-4- (x1— jt/X.1— x.’X,1— x/X,2 — ••• -4- &c.. ......

-f- (X-— x.'- X.-x.-'X,— xZ-X^-...

• • — Xn, ) a

et par suite

(3) u=X0«0-+-Jf1wl-f--YiM1-|-. . . M., »

attendu que les quantités

*0, Xt, x>,

devront être assujetties aux équations de condition

x0 Xa -4- x , X, -4- x , Xj -t- .... -4- xn t X„, = x . (4) ^ x.X, -hx.'X. +x,XJ+ . ... +x,.l'X,.I =x* . &c

x0»-X0-Mr/.-'X1-^r/-*X,+ ...+x I’,-,X, = *—

Si l’on résout ces nouvelles équations par la méthode exposée dans le III.e chapitre [<j. 1."], on obtiendra les formules ... : . •

* (Xo~ *») (*o— *,) (-To— X„, ) »

X — CJ — x°) (-g — (* — *,-,)

' (X, — Xo) (*.— x,)... ’

X — (J~ X°) ( x J ■ ) (*~ xn-, )

" * Cjrn— I xo) (•*»— 1— xi) • • • C-*»-! ^n-i) *

en vertu desquelles l’équation ( 3 ) se réduit à la formule de Lagrange.

Au reste , ia formule de Lagrange est comprise dans une autre plus générale à laquelle on se trouve conduit , lorsqu’on cherche à déterminer, d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, non plus une fonction entière, mais une fonction rationnelle de 1a variable x. Concevons , pour fixer les idées , que cette fonction rationnelle doive être de la forme

a -4“ b x -4— ex1 -f- . . . — f- hx”~'