CL -+- Cx-hyx'-i-. . fjxm
Alors les inconnues du problème seront les coelliciens a p bp c p • ■ , À ,* (t , f , y , « • • ô , ou , pour mieux dire , les rapports
abc h € y 0
T » T> aT» T • • T» «T» T > * * * T >
dont le nombre est n-t-ra. II est aisé d’en -conclure que la fonction u sera complètement déterminée, si l’on en connaît n -4- ni valeurs particulières
correspondantes à n-t-m valeurs (8) x o , x , , x x p ...
de la variable x. On arrive encore aux mêmes conclusions , en faisant voir qu'une seconde fonction rationnelle de la forme
f ^ fl’-»- b'x -4- c'x* h'x*~l
W V Cs-t-ÿx* -h 8 V
ne peut satisfaire aux mêmes conditions que la première, sans lui être identiquement égale. Supposons , en effet , que les fractions (6) et (p) deviennent égales entre elles, pour les valeurs particulières de x comprises dans la série (8). L’équation
f x ( (fl *+~ ix-t-, , .-+- A j""1 ) (cl -h C x-l- • . • -f- 0 xm)
(iOJ {
/ j— (a H- 4x-+-. . (fl + fx+...+ Si") = ot
subsistant alors‘pour n-4-m valeurs de la variable, tandis que son degré reste inférieur à n -t- m , sera nécessairement une équation identique ; d’où il suit qu’on aura identiquement
' * ' ct-+- 'x-H/'x1-»-— -t-B'x" •
On ne peut donc résoudre que d’une seule manière la question proposée. On la résoudra effectivement en prenant pour valeur générale de u la fraction
, mît
(x— xmJ.,) (x— xm+J). . .(x-xm+„,)
,)...(xo— xmJ.n,)x...x(x„
U mll ,.,.11-
(x„— x) (x,— x). . .(xm,— x)
(x0— Xm)...(x0
— Xm)...(xra,-
dans laquelle le dénominateur doit être remplacé par l’unité, lorsqu’on suppose m = o, et le numérateur par le produit «,«, . . . un, lorsqu’on suppose n—i. Cela posé , on trouvera , pour m = o ,
(x— X,) (x-xj. ■ ,(x— x,„) (Xo— X.) (x.-xj . . . (x.->r ,)
pour m=z i , uje
(J— r.) (j— Xx) {*—■ O
Ua
xg — «r
(x0-x,)(xd-xa)..(x0-xn) (x , -xG)(x 4 -xa)..(x t -x M)
pour n =s 1
(j„— r) (•?,— r). • ,(x (ro J») (■*" i Jm) • • • (^rn— * ,rm)
&c Dans chacune des formules précédentes , on
complétera sans peine le numérateur ou le dénominateur de la fraction qui représente la valeur de u , en ajoutant au premier terme de ce numérateur ou de ce dénominateur tous ceux qu’on peut en déduire à l’aide d’un ou de plusieurs échanges opérés entre les indices. Par exemple , si l’on suppose en même temps m = 1 et n ■==. 2 , on trouvera pour la valeur de u complètement développée
(■*.—■ *oX*~ *o)
(x0-x,)(x0— xJ (.r,— x0)(x,— xJ 1
Il est bon de remarquer que la formule (1 2) est celle de Lagrange , et que pour en déduire la formule (i4) il suffit de remplacer n — 1 par m , puis de prendre pour inconnue la fonction —, supposée entière, au lieu de la fonction u.
Des Nombres figurés.
On appelle nombres figurés du premier, du second,
du troisième ordre, &c ceux qui servent de coeffi-
ciens aux puissances successives de x dans les développemens des expressions
(i-Hr)~*, (j-f-tf)-3, (i-j-x)-4, &c. . . .
Cette définition fournit un moyen facile de les calculer. En effet, nous avons prouvé, dans le chapitre VI [ §, 4 ] , qu’on a , pour des valeurs réelles quelconques de fx , et pour des valeurs numériques de x inférieures à l’unité ,
(1-f-xy =
Si dans l’équation précédente on pose /x— — (wi-p- i ), m désignant un nombre entier quelconque, on trouvera
«+« , (ot4-0(»H-*) l(m+0(m+2). . .(m-v-n)
rp &C. . . .
Comme on a d’ailleurs évidemment
(m-4-i) (iw-4-i). . . (m-4-n) i . 2 . 3 ...m(m-f-i), . .(m-f-n)
il en résulte que ! équation (2) peut s’écrire air^i qu’il suit ,
1 m i. 4. ■■(>/! -hQ
n(n+i)...(n+OT,)^^,^
,• ! 3 • 4 • S • ■ • (>”— 1~ - ) i .i. j . . .ni
. .Çn-t-m' i f . 2 . 3 . . . tU
Les coefficiens numériques des puissances successives de x dans le second membre de cette dernière formule , savoir ,
sont précisément les nombres figures de l’ordre m. La suite de ces mêmes nombres ou la série { 5) s’étend à I infini. Son «.""'terme, c’est-à-dire, la fraction
est à-Ia-fois le coefficient numérique de x"~' dans fe développement de ( 1 -h , et le coefficient de x"1' dans
le développement de ( 1 . De plus, si dans la
série (5) on fait successivement
m—i, m = 2 , wi=3, &c ,
on obtiendra , 1 .° la suite des nombres naturels ou figurés du premier ordre
2.0 la suite des nombres qu’on nomme triangulaires ou figurés du second ordre, savoir.
3." la suite des nombres qu’on appelle pyramidaux ou figurés du troisième ordre , savoir ,
Si l’on écrit cés différentes suites au-dessus les unes des autres, en les faisant précéder par une première suite composée de termes tous égaux h l’unité, et plaçant en outre le premier terme de chacune d’elles sous le second terme de la suite immédiatement supérieure, on obtiendra le tableau suivant :
Les nombres renfermés dans la n-+-ime colonne verticale de ce tableau sont les coefficiens de la n.m' puissance d’un binôme. Pascal , dans son Traité du Triangle arithmétique, a donné le premier la loi de formation de ces mêmes nombres. Newton a fait voir ensuite comment la formule établie d’après cette loi peut être étendue à des puissances fractionnaires ou négatives.
Plusieurs propriétés remarquables des nombres figurés se déduisent immédiatement de la formule (4) du chapitre IV [§. 3 ]. Concevons, par exemple, qu’après avoir remplacé dans cette formule n par n — i , on y suppose
771, m étant deux nombres entiers quelconques, on trouvera
note vr. 533
i.)(ot-+-î) — i ) (m-H)(m+î). . .(nj-f-s— 2) m'+i
puis, en faisant m' = o,
(«+i)(m+2)..,()H+»-i) (w+i)(«+!).,.(»!+ii-!)
