ra

Bl+I

De même, si, après avoir remplacé dans la formule (4) [chap. IV, §. 3] n par n - 1 , on fait en outre

on en conclura " • v'è‘

* I OJ.

■ 1 .2. 3 . . .(it — 1) 1 .2.3.. .(>1— 1) , 1

m-t-i (m'-t-i) m' . . ..(m' — n-i-4) | (m'-Hi) m ... .[m— n-t-j)

Lorsque dans l’équation précédente on suppose m' == ou >m, et en même temps n= ou >»»’-+- 2 , on trouve .

( I o) o = •("»-+»-') (w-t-i). . .{m-hn— î)

__ (m-M) ^ (n,+,)...fOT+s m,;)

< 1 .i.3—(«— m'— 1) — ra'— i) • .

Enfin, comme les équations (8) et (10) peuvent s’écrire ainsi qu’il suit :

(il) 1±]^ a-T-ij-ÇiiH-,) , . *CH-0m..(*44*-i)

1 m H t".î.3...to

w(n-l-i)...(n-4-nt)

. J.2.3...(ra-w) »

fl’) o = ”•••(”+”»—!) m'+,

il est clair quelles entraîneront les deux propositions que je vais énoncer.

1. Théorème Si , apres avoir formé la suite des nombres figurés de l’ordre m, on ajoute les uns aux autres les n premiers termes de cette suite, on obtiendra pour somme le n.”' nombre figuré de l’ordre

2/ Théorème. Si l’on désigne par m, tri deux nombres entiers assujettis à la condition

ni — ou > m,

et pie dans le développement de (, — on remplàae les puissances successives de x par termes consecutifs pris dans la suite des nombres figurés de l’ordre m , on obtiendra un résultat égal à zéro.

COROLLAIRE i" Si i’on suppose que les différens termes de la suite

(*3) 1 î ... Or n , &C. ...

représentent successivement les nombres naturels , les nombres triangulaires , et les nombres pyramidaux , on trouvera dans le premier cas

dans le second

et dans le troisième

(.6) a, — 4«„. -h 6an.—Un}- -+-«„+= o.

La première des équations qui précèdent se confond avec la formule (3) du chapitre XII [§. 1."].

Corollaire 2’ Si l’on désigne généralement par

(' 3) «o» alt aM, &c.. . .

les nombres figurés de l’ordre m ,

(17) aot 0,1, a1x1 , ... anx* , &c. ...

sera une série récurrente dont l'échelle de relation aura pour termes les quantités

c’est-à-dire, les coefiiciens des puissances successives de x dans le développement de (1 — x)m*'. Ainsi, par exemple, la série

1, jx, 6xv , iori, &c. ..., dans laquelle les puissances successives de x ont pour

coefficiens les nombres triangulaires, est récurrente, et son échelle de relation se compose des quantités

Parmi les propriétés principales des nombres figurés, on doit remarquer encore celles que présentent les équations (7) et (9) , lorsqu’on leur donne les formes sui-

, , n ( n ~h 1 .) (n-hm-4-m')

' 1 . 2 . 3 . . .(w-Hn’+r)

. . n (il —3— 1 ) . . . .(n-f-m — m' — 2)

n(n-h 1)... (n-t-ffl— i) !»'+' (n— i)n. ..(«+!»— 2) ^ ^

Ajoutons que , dans la suite des nombres figurés de l’ordre n, le »-+- ime terme équivaut à la somme des carrés des coefficiens que renferme la n.me puissance d’un binôme. En effet, si dans la formule (2) [chap. IV, §. 3] on suppose à-la-fois X = n , y = », on trouvera

Des Séries doubles.

Soient

fc'i >

des quantités quelconques rangées sur des lignes horizontales et verticales, de telle manière que chaque série horizontale ou verticale renferme une infinité de termes. Le système de toutes ces quantités sera ce qu’on peut appeler une série double ; et ces quantités elles-mêmes seront les différais termes de la série, qui aura pour terme général

m , n désignant deux nombres entiers quelconques. Cela posé, concevons que l’on représente par

la somme des termes de la série ( i ) qui se trouvent compris dans le tableau suivant

c'est-à-dire , des ternies qui portent à-la-fois un indice inferieur plus petit que n , et un indice supérieur plus petit que m. Si la somme des termes restans pris en tel ordre et en tel nombre que l’on voudra devient infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de m et de n , il est clair que la somme s , et toutes celles qu’on pourra en déduire en ajoutant à quelques-uns des

termes exclus du tableau n.° 2, convergeront, pour des valeurs croissantes de m et de n > vers une limite fixe s. Dans ce cas, on dira que la série (1) est convergente , et quelle a pour somme la limite s. Dans le cas contraire , la série ( 1 ) sera divergente , et n’aura plus de somme.

Lorsque les termes exclus du tableau n.° 2, étant ajoutés les uns aux autres en nombre arbitraire , ne donnent jamais, pour des valeurs infiniment grandes de m et de n, que des sommes infiniment petites , on peut en dire autant à fortiori de ceux d’entre les mêmes termes qui appartiennent à une ou à plusieurs colonnes horizontales ou verticales du tableau n.* (1). II suit immédiatement de cette remarque que , si la série double comprise dans le tableau n.° ( 1 ) est convergente , chacune des séries simples comprises dans les colonnes horizontales ou verticales du meme tableau le sera pareillement. Désignons, dans cette hypothèse , par

. il")

le résultat qu’on obtient en ajoutant les sommes des m premières séries horizontales du tableau n.° (1), c’est-àdire, les m premiers termes de la série simple

et par

NOTE Vil.

Je résultat qu’on obtient en ajoutant les sommes des n premières séries verticales, c’est-à-dire, les n premiers termes de la série simple

(4) «o-Mt'o-Mt' V f-&c. , u ,

jfm) sera évidemment la limite de l’expression sjm) pour des valeurs croissantes de n , et s la limite de la même expression pour des valeurs croissantes de m. Par suite, il suffira de faire croître indéfiniment m dans s(m) et n dans sn , pour faire converger s-’”'1 et sn vers la limite s, • On peut donc énoncer la proposition suivante.

1." Théorème. Supposons que la série double comprise dans le tableau n° (i) soit convergente ; et désignons par s la somme de, cette série. Les séries (.3) et (4) seront également convergentes , et chacune d’elles aura, encore pour somme la quantité s.

Concevons maintenant que les valeurs numériques des quantités comprises dans le tableau n.° (i) soient respectivement désignées par

Ço Ç.» Çl &c. ,

Ç o> Ç 1 1 Ç U Suc. ,

ç"o, ç\> eV, &c. ,

Les tennes du tableau n.° (i) qui se trouvent exclus du tableau n.° (2), étant ajoutés les uns aux autres en tel nombre que l’on voudra , fourniront évidemment une somme inférieure ou tout au plus égale [abstraction faite du signe] à la somme des termes correspondais du tableau

NOTE Vil.

n.' (5). Donc, si, pour des valeurs infiniment grandes des nombres m et n , cette dernière somme devient infiniment petite , il en sera de même à fortiori de la première ; ce qu’on peut encore exprimer en disant que , si la série double comprise dans le tableau n.° (5) est convergente , la série ( 1 ) le sera pareillement. J’ajoute qu’on sera complètement assuré de la convergence de la série double comprise dans le tableau n.” (5), toutes les fois que, les séries horizontales de ce tableau étant convergentes, leurs sommes, savoir,

(6) c., JV+JY+JV+&C., -Po"+-P,"+-P/'+&c. .

formeront elles-mêmes une série simple convergente. En effet, soit, dans cette hypothèse, e un nombre aussi petit que l’on voudra. On pourra choisir m assez considérable pour que l’addition des sommes

et par suite, celle des termes du tableau n.* ($) affectés d’un indice supérieur au moins égal à m, ne produise jamais un résultat plus grand que ~ î. . De plus, le nombre m étant déterminé comme on vient: de le dire, on pourra encore, puisque chacune des séries horizontales, du tableau n.° (5) est convergente, choisir n assez considérable pour que chacune des sommes

soit égale ou inférieure à — g ; auquel cas l’addition des termes qui", dans le tableau (5) , portent un indice supérieur plus petit que m , et un indice inférieur au moins égal à n, ne produira jamais un résultat plus grand que j g. Les deux conditions précédentes étant remplies , il est clair que dans la série ( 5) les termes affectés d’un indice supérieur au moins égal km, et d’un indice inférieur au moins égal à n , 11e pourront donner par leur addition mutuelle qu’une somme tout au plus égale à g. Donc cette somme deviendra infiniment petite , si l’on attribue aux nombres m et n des valeurs infiniment grandes , puisque alors il sera permis de faire décroître S audelà de toute limite assignable. Donc l’hypothèse admise entraîne la convergence de la série ( $ ) , et par suite celle de la série ( 1 ). En combinant ce principe avec le premier théorème , on en déduit une nouvelle proposition que je vais énoncer.

2.e Théorème. Supposons que , toutes les sériés horizontales du tableau n° (1) étant convergentes, leurs sommes , savoir , ^

(3) u0-t-u,-+-u1-t-&c. , w0'-*-u,'-4-u1'-4-&c. , u0'-t-u1"-(-ttll"-t-&c. ,

forment encore une série convergente , et que cette double propriété des séries horizontales subsiste dans le cas même où l’on remplace chaque terme du tableau n.° (1) par sa valeur numérique. On pourra dès-lors ' affirmer , /.0 que toutes les séries verticales sont convergentes, 2.° que leurs sommes , savoir,

(4) “oH-Uo’-hC- H&C. , u, &c. , .

forment encore une série convergente , J.‘ enfn que la

somme de la série (4) est précisément égale à celle de la séi'ie (3).

COROLLAIRE /." Le théorème précédent subsiste lors même qu’on suppose quelques -unes des séries horizontales ou verticales composées d'un nombre fini de termes. En effet , chaque série de cette espèce peut être considérée comme une série convergente indéfiniment prolongée , mais dans laquelle tous les termes dont le rang surpasse un nombre donné s’évanouissent.

Corollaire 2* Soient

deux séries convergentes qui aient respectivement pour sommes les deux quantités s, s1, et dont chacune reste convergente lors meme qu’on réduit ses différons termes à leurs valeurs numériques. Si l’on forme le tableau

Iu„va, v0 , &c. ,

u,vl} u2vlt &c. ,

U0Vl} M.V,, &C. ,

on reconnaîtra sans peine que les séries horizontales de ce tableau jouissent des propriétés énoncées dans le a.e théorème , et que leurs sommes sont respectivement

(9) VoS > i>i* > vxs , v}s , &c. . . . »

Par suite, en vertu du z.e théorème et de son premier corollaire , les sommes des séries verticales , savoir ,

!U0V0, M0 V , -4- M, Va , UeV1-+-UlVl-+-UlV0

formeront une nouvelle sérié convergente ; et la somme de cette nouvelle série sera égale à celle de la série (9) , c està-dire , évidemment au produit ss'. On se trouve ainsi ramené par la considération des séries doubles au 6.c théorème du chapitre VI [§. 3].

Corollaire j>.' Si l'on appelle x le sinus d’un arc

’JT

compris entre les limites — — , -+- — , et z sa tangente, on trouvera 1

Cela posé, puisque en vertu de la formule (3 9) [chap. IX, 5. 2] on a, pour des valeurs numériques de z inférieures à l’unité,

arc tan g.

— — ■ — f- oIC. « 1 •

on en conclura, pour des valeurs numériques de x infé-

neures a — - ,

arc sin. X = arc tang. X ( I — Xz ) 1 =

09, ce qui revient au même.

, Xi 3.Î X>

arc «n. X = X H H —

Comme les séries horizontales comprises dans ie second membre de i’équation précédente remplissent évidemment les conditions énoncées dans ie 2/ théorème, tant que ia variable x conserve une valeur numérique inférieure à

; il en résulte que cette équation peut s’écrire ainsi qu’il suit :

arcsin. X = X -+- (j- I ) — -+■ 1^ —

z ii

De plus , si dans ia formule ( 5 ) du chapitre IV [ §. 3 ] , on attribue à y ia valeur négative — . 2 , et à x l’une des valeurs positives 3, 5 ,7, Sic..., on en tirera successivement

et par suite, on trouvera définitivement