XJ , I . } X
Il est facile de prouver, à l’aide du calcul infinitésimal, que cette dernière équation subsiste non-seulement entre
les limites x — 7— , x — -t- , mais aussi entre
les limites x = — 1 , x = -4- J .
Corollaire 4/ En vertu de la formule (20) [ cliap. YI , §. 4 ] , on a , pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — 1 et -f- 1 ,
== * — T- C 1 ~ A*) + ~ ( 1 -fr) ( , -&c. ;
ou , ce qui revient au même ,
-7^K,+; + j)ï-*‘fà+ni+tî)7
Comme les séries horizontales que comprend le second membre de l’équation précédente remplissent les condi- TOM. 1. Mm
NOTE VH.
tions énoncées clans le 2.* théorème, tant que la variable x conserve une valeur numérique inférieure à l imité , il en résulte que cette équation peut s’écrire ainsi qu’il suit
-+- ' [ rh 7 - (ri + 77 ■+■ à ) ï + &c- ]
Mais on a déjà trouvé [ chapitre VI , $. 4 » 1 •*" probl. , corollaire 2 ]
l{ [ /( I -f-Æ:) ]lH— &C. ,
l étant la caractéristique des logarithmes népériens. Les formules (13) et ( 1 4) devant s’accorder entre elles [voyez le 6.e théorème du chapitre VI, §.4], on en conclura , pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — 1 et — t— 1 ,
Dans ce qui précède, nous n’âvôns considéré d’autres séries doubles , convergentes ou divergentes , que celles dont les difïerens termes sont des quantités réelles. Mais ce qui a été dit à l’égard de ces séries peut également s’appliquer au cas où leurs termes deviennent imaginaires, pourvu qu’alors on écrive par-tout expression imaginaire au lieu de quantité, et module au lieu de valeur numérique . Ces modifications étant admises , les théorèmes i.*r et 2.e subsisteront encore. C’est ce que l’on démontrera sans peine, en s’appuyant sur le principe suivant.
Le module de la somme de plusieurs expressions imaginaires est toujours inférieur à la somme de leurs modules.
Pour établir ce meme principe, il suffit d’observer que, si l’on fait
Ç (cos. 8 -f- f —i sin. 9 ) -J— ç' ( cos. fl' -f- f — i sin. 8') -J-. . . = R (cos. T — |— -j/ —i sin. T) ,
f , ...R désignant des quantités positives, on en conclura
)RI = (çcos.8— f- ç1 cos. 8’ — ] — ...)a -f" (ç sin. 8 — }— j sin. 8’— J— ...)* = ç1— f— ç ” — J— . . . -h- 2 çç1 cos. (8 — 6') —J—, .......
et par suite
Mm*
Sur les Formules qui servent à convertir les Sinus ou Cosinus des Multiples d’un arc en polynômes dont les différent termes ont pour facteurs les puissances ascendantes du Sinus ou Cosinus de ce même arc.
Les formules dont il est ici question sont celles que nous avons construites en résolvant les deux premiers problèmes énoncés dans le 5 .* paragraphe du chap. VII, et qui s’y trouvent affectées des numéros (3), (4), (5), (6), (9), (1 o) , (1 1) et (1 a). Elles donnent lieu aux remarques suivantes.
D’abord , si , dans le calcul à l’aide duquel on établit les formules (3), (4), (5) et (6), on substitue aux équations (12) du chapitre VII [ 2/ paragr. ] les équations (24) du chapitre IX [2.* paragraphe] , on reconnaîtra immédiatement que les mêmes formules subsistent dans le cas où l’on remplace le nombre entier m par une quantité quelconque pu , tant que l’on suppose la valeur numérique de z inférieure à ~ . Ainsi l’on aura , dans cette
hypothèse , (0
p.f* . , , (yu-4-i) A*. /“•(/“—*) . ,
cos. Ati = 1 — — — gm.1 z i sin.* *
sin. fj.z
= cos. 2 £
(>. sin. z ■
(u+4) (p-hi) M (P— 1)(U— 4) . <
-f- ■ ■ ■ ■ ' ■ sin.' z
sin J z
et
. fJL Z s= COS. S £ '
sm. ^ z — fx. sm. z
sm.-* *
sin.’ z -
De plus, en vertu des principes établis dans le cliap. IX [ §. 2 ] et dans la note précédente , on pourra développer non-seulement cos. /xz et sin. /x z , mais aussi les seconds membres des formules (1), (2), (3), (4), suivant les puissances ascendantes de fx\ et, comme les coelficiens de ces puissances devront alors être les mêmes dans le premier et le second membre de chaque formule , on obtiendra , en comparant deux à deux les coefficiens dont il s’agit , une suite d’équations parmi lesquelles on distinguera celles que je vais écrire.
