Théorème. Supposons que, dans l’équation

la variable x soit fonction d’une autre variable t. Concevons de plus que la variable x soit fonction continue de t dans le voisinage de la valeur particulière t=T, et u fonction continue de x dans le voisinage de la valeur particulière x — X correspondante a t—T. La quantité u , considérée comme

42 cours d’analyse.

fonction de t , sera encore continue par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière t — T.

Supposons, par exemple,

u= ax et j = t” ,

a désignant une quantité constante, et n un nombre entier. On conclura du 3.* théorème que

u = al"

est , entre dos limites quelconques de la variable t, fonction continue de cette variable.

De même, si l’on fait

: sin. t , y =■ cos. t ,

on conclura du z.e théorème que la fonction

U — tang. t

est continue par rapport à t dans le voisinage d’une valeur finie quelconque de cette variable, toutes les fois que la valeur dont il s’agit n’est pas comprise dans la formule

. 2. TT dt —

le désignant un nombre entier; c’est-à-dire, toutes les fois qu’à cette valeur de l correspond une valeur finie de tang. t. Au contraire , la fonction tang. t admettra une solution de continuité, en devenant infinie , pour chacune des valeurs de t comprises dans la formule précédente.

Supposons encore a

x — bt, y = ctx &c. . . . ,

a, b, c. .. désignant des quantités constantes. Alors, u étaut fonction continue de x, y, z ... entre des limites quelconques de ces variables , et x,y, z ... fonctions continues de la variable t entre des limites quelconques de cette dernière , on conclura du théorème 3.® que la fonction

est elle-même continue par' rapport à t entre des limites quelconques. Par suite, comme*/=o donne u = a , si l’on fait converger t vers la limite zéro , la Jonction u convergera vers la limite a , et finira par obtenir le même signe que cette limite ; ce qui s’accorde avec le 4-* théorème du §. 1 .er

Une propriété remarquable des fonctions continues d’une seule variable , c’est de pouvoir servir à représenter en géométrie les ordonnées de lignes continues droites ou courbes. De cette remarque on déduit facilement la proposition suivante.

4.* Théorème. Si la fonction f[x) est continue par rapport a la variable x entre les limites x—xa, x—X, et que l’on désigne par b une quantité intermédiaire entre f(x9) et f (x), on pourra toujours satisfaire à l’équation *

par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre x„ et x.

44 COURS d’analyse.

Démonstration. Pour établir la proposition précédente , il suffit de faire voir que la courbe qui a pour équation

rencontrera une ou plusieurs fois la droite qui a pour équation

dans l’intervalle compris entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses xa et X : or c’est évidemment ce qui aura lieu dans l’hypothèse admise. En effet, la fonction f{x) étant continue entre les limites x=x0, x—X, la courbe qui a pour équation y— tf(x) , et qui passe i ,° par le point correspondant aux coordonnées xa, f(x0) , z.a par le point correspondant aux coordonnées X et f(X), sera continue entre ces deux points : et, comme l’ordonnée constante b de la droite qui a pour équation y=b se trouve comprise entre les ordonnées /’(•*■„), f(X) des deux points que l’on considère, la droite passera nécessairement entre ces deux points , ce quelle ne peut faire sans rencontrer dans l’mtervalle la courbe ci-dessus mentionnée.

\ On peut , au reste , comme on le fera dans la note III , démontrer le 4-' théorème par une méthode directe et purement analytique , qui a même l’avantage de ^fournir la- résolution numérique de l’équation

5- 3* Valeurs singulières des Fonctions dans quelques cas particuliers.

Lorsque , pour un système de valeurs attribuées aux variables quelle renferme , une fonction d’une ou de plusieurs variables n’admet qu’une seule valeur, cette valeur unique se déduit ordinairement de la définition même de la fonction. S’il se présente un cas particulier dans lequel la définition donnée ne puisse plus fournir immédiatement la valeur de la fonction que l’on considère, on cherche la limite ou les limites vers lesquelles cette fonction converge, tandis que les variables s’approchent indéfiniment des valeurs particulières qui leur sont assignées; et, s’il existe une ou plusieurs limites de cette. espèce, elles sont regardées comme autant de valeurs de la fonction dans l’hypothèse admise. Nous nommerons valeurs singulières de la fonction proposée celles qui se trouvent déterminées comme on vient de le dire. Telles sont, par exemple, celles qu’on obtient en attribuant aux variables des valeurs infinies , et souvent aussi celles qui correspondent à des solutions de continuité. La recherche des valeurs singulières des fonctions est une des questions les plus importantes et les plus délicates de l’analyse : elle offre plus ou moins de difficultés, suivant la nature des fonctions et le nombre des variables quelles renferment.

Si , d’abord , on considère les fonctions simples

46 cours d’analyse.

d’une seule variable, on trouvera qu’il est facile de fixer leurs valeurs singulières. Ces valeurs correspondent toujours à l’une- des trois hypothèses

Æ = — oo , x=0, X = oo ;

et sont respectivement,

pour la fonction

(4 désignant une quantité quelconque) fl-|-00=00. . .fl — 00=— QO , A — X (a désignant une quantité quelconque) fl— CO=>— OO . . , fl — (—00)6=00,

a désignant une quantité négative fl X 00= — CO . . . fl x 00=00 ,

4 désignant une quantité positive — Q, ~=ioO — — — n