OO O ’ -OO

4 désignant une quantité négative =0» — =1^100, =0*

Î4 désignant une quantité positive •«•••««.. 0*=0, 00^=00 ,

4 désignant une quantité négative O =00 , OO* = O ,

I A désignant un nomhre sup. à l’unité A~~^° =0, A°=i t Ax =zOO .

( A désignant un nombre inf. à i’unité “OO, A°z^i t A 00 =0 *

la base du syst. de log. étant sup. à l’unité /^(o)=-

-oo, Z,(cc)=oo,

ia base étant inférieure à l’unité....... £*(o)==“i--00, .£(00)=-— CC ,

shl- * sin.((— oc))==Af(;— i H-,)), sm.((oc})=/W(( — .,-+-i)) ,

«os- * C08.((— oc))=A/((— 1 ,-t-i )) , cos.({oc))=zW((— I ,-H , }).

La notation M((— i ,-+• 1)) désigne ici , comme dans les préliminaires , une quelconque des quantités moyennes entre les deux limites

— i et -t- i .

Il est bon d’observer que , dans le cas où Ion

suppose « = ± m (m désignant un nombre entier), ia fonction simple

admet constamment trois valeurs singulières, savoir,

m étant un nombre pair — oo)m==CO, Om=0, 0C”*=00 , m «tant impair ( — co)m=— OO, Om=:Ot OOm=CO,

et lorsque! m '“nl plir (— CO)~m^=0, o m=OC, CO~m=o,-

a — — m ) rn étant impair ( — OO)- ”=0 . ((o))""m=ofcoO , OO- ”=0.

Considérons maintenant les fonctions composées d’une seide variable x. Quelquefois il est aisé de trouver leurs valeurs singulières. Ainsi , par exemple, si l’on désigne par k un nombre entier quelconque, ' on reconnaîtra sans peine que la fonction composée

lorsque

tang. X —

sin. x cos. x

a ses valeurs singulières comprises dans les trois formules

tang. ((oo))=A/ (( — OO, -t-oc)) > tang. — ,

tang. (( — OO)) = AI (( — OO , -t- CO)) i

tandis que les valeurs singulières de la fonction inverse

arc tang. jt — arc sin.

sont respectivement

arc tang. ( — OC) = — , arc tang. (oo) = — .

Mais souvent aussi de semblables questions pré-

48 cours d’analyse.

sentent de véritables difficultés. Par exemple, on n’aperçoit pas immédiatement comment on peut déterminer la valeur singulière de la fonction

lorsqu’on y suppose x— o ; ou celle de la fonction

lorsqu’on prend x= oo. Pour donner une idée des méthodes qui conduisent à la solution des questions de cette espèce , je vais établir ici deux théorèmes à l’aide desquels on peut, dans un grand nombre de cas, déterminer les valeurs singulières que reçoivent les deux fonctions

lorsqu’on y suppose x=oo.

1 .er Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de x , la différence

converge vers une certaine limite k , la fraction

convergera en même temps vers la même limite.

Démonstration. Supposons d’abord que la quantité k ait une valeur finie , et désignons par g un nombre aussi petit que l’on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger la différence

/(jf-hi )--/(*)

vers la limite k, oh pourra donner au nombre h une valeur assez considérable pour que , x étant égal ou supérieur à h , la différence dont il s’agit soit constamment comprise entre les limites

Cela posé, si fon désigne par n un nombre entier •quelconque , chacune des quantités

/(Ah-2)-/(A+|),

f(h + n) -/(A + n-i), et par suite leur moyenne arithmétique , savoir ,

se trouvera comprise entre les limites k— g, /[•-+- g. On aura donc

étant une quantité comprise entre les limites — g , -t- g. Soit maintenant

L’équation précédente deviendra

et l’on en conclura '

TOM. 1. Tl

50 COURS d’analyse.

De 'jiïus , pour faire croître indéfiniment la valeur de x , il suffira de faire croître indéfiniment le nombre entier n, sans changer la valeur de h. Supposons , en conséquence , que dans féquation ( 2 ) l’on considère h comme une quantité constante , et x comme une quantité variable qui coi^rge vers la limite 00 . Les quantités

renfermées dans le second membre , convergeront vers la limite zéro, et le second membre lui-même vers une limite de la forme

k -+- ce ,

et étant toujours compris entre — g et -i-e. Par suite, le rapport

aura pour limite une quantité comprise entre k — g et k-+- g. Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre g , il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité k. En d’autres termes , on aura

Supposons, en second lieu, k=oo. En désignant alors par H un nombre aussi grand que l’on voudra ,