T • 2 3T si n. — sin. — im zm
sin. — sin. — zm -9 zm
, (m-i)TT zm
sm.
et, pour des valeurs impaires de m,
1 = 2 sm. . sin. . . . sin/ ,
zm
zm
m = 2 sin. • sin. .... sin. — - — • ;
zm zm zm 7
TT JT . ,Mt’
sin. — sm. — sm.
2771 2771 am
sin. — sin. — zm zm
sin.
J’ajoute que , si l’on multiplie par les (^eux
membres de chacune des équations (j*4) ou (2^) > on cn conclura, en faisant croître m indéfiniment,
■ a 9 zj 4v
En effet, considérons, pour fixer les idées, la seconde
dés équations (i4)> En multipliant ses deux membres par , on trouvera
\m J i \ m / i \ m J t \ îm J
. . V A . . ITT o . /m \*. , (m-i)TT
•m.1 — * sin. ' sin. - — ( 1) sm.1 —
m tn m \ i y 2™
Soit d’ailleurs n un nombre entier inferieur à — • De'-
signons à. l’ordinaire par la notation M ( « , h ) une moyenne entre les quantités a et b. Enfin observons
que le rapport --- est toujours [voyez la page 64] compris entre les limites 1 , - '■■■ ; et que l’on a par suite,
pour des valeurs numériques de x inférieures à — ,
Le second membre de l’équation (29) sera évidemment la somme des deux polynômes
N O TF. VIII.
dont le premier, en vertu de l’équation (i i) des préliminaires, pourra être présenté sous la forme
tandis que le second , composé de — n — 1 termes
tous inférieurs à , restera compris entre les limites o et ^r. Cela posé, l’équation (29) deviendra
xM('’
et l’on en conclura immédiatement
Cette dernière formule subsiste , quels que soient les nombres entiers m et n , pourvu que l’on ait '-m> n. En outre, il est aisé de voir que, si l’on prend constamment pour '-m le plus petit des entiers supérieurs à n" (a désignant un nombre compris entre 1 èt 2 ) , les rapports
~r convergeront ensemble, pour des valeurs croissantes de », vers la limite zéro, et le second membre de la formule (jo) vers la limite — . Le premier membre
NOTE VIH. 559
devant avoir la même limite que le second , il en résulte , i que la série
I , ••••• J— y &.Ci • ■ •
sera convergente, ce que l’on savait déjà [ voyez le corollaire du j.e théorème , chapitre VI, §. 2] ; 2.0 que cette
, . 7TX
sone aura pour somme — .
L’équation (22) étant ainsi démontrée, on en tirera, en divisant ses deux membres par 4 ,
On aura par suite
T1 jr*.
~7û *+■ "JG H&C-
Cette nouvelle formule s’accorde avec 1 équation (27) , qu’on peut déduire directement de la première des équations (24) ou (26).
Avant de terminer cette note, nous ferons remarquer que, pour établir les huit formules (3), (4), (5), (6), (9)> ('o), (1 1) et (1 2) du chapitre VII [5- 5], il suffit de démontrer les quatre dernières , et qu’on y parvient très -promptement en développant les équations ( 1 o) du chapitre IX [$. 1."], savoir,
( î 1 ) i-t-zcos.g-»-z1cos.20-t-z3cos.39-t-&c. = 1 ~ZC08- 6
I— ÎZCOS.g-t-z-1 lz= — I
(32) zsin.g-t-*18in.2flH-zîsin.j5-+-&c. = z Sln~ ^
1 — îzcos.S+z2
Considérons, par èxempîe , féquation (32). On en tirera, pour des valeurs numériques de s inférieures à l’unité ,
s sin.fl-t-«*sin.*fl-+-zîsin.}fl-H. • • -+-z2IIsin.2n0-l-z2''+,sin.(î*H-Ofl+&c-
1 z sin. 0 i -+zx *zcos. 0
= sin.0 [ z ( i -Hz1)-’ -t- 2Z*cos.fl( i -t-^J)-1-H4z,cos fl ( i +z2)> ]
-t-cos. fl(îz‘- 4z4H- + inîJ"±&c. )
' -+-COS.20
zin+1 ±&C.M
- ‘Ai (—
et l’on trouvera par suite , en égalant entre eux les coefficiens des puissances semblables de z,
sin. 2 n 0 =
(l) sin. 6 I 2«cos.6 1 z cos.î 0 -t- &C.J y
(j4-) 8in.(2ra-4-l)6 =
( — l) sin.0 1^1 — os. 0 -4- &C J.
Si dans ces dernières formules on remplace 0 par s , et 2 n ou 2R-H1 par m, on obtiendra précisément les équations ( i o) et ( 1 1 ) du chapitre VII [ §- 5 ]• Les Rations (9) et (12) du même paragraphe se déduiraient , par un calcul semblable, de la formule (3 1).
Sur les Produits composés d’un nombre ' infini de Façleurs. .* : -i.
j Ii. ai* i ■ is» *>fin ■' )
Désignons par i . .. , < i; ••
une suite infinie de termes positifs ou négatifs , dont chacun soit supérieur à — i. Si les quantités
[ l étant la caractéristique des logarithmes népériens ] , forment une série convergente dont la somme soit égale
à s, le produit ' J
convergera évidemment, pour des valeurs croissantes: dii nombre entier n , vers une limite finie et difiiprenlje de zéro , équivalente à e‘. Si au contraire la série ( &) . est divergente , le produit (5) cessera de converger vers une limite finie différente de zéro. Dans le premier cas , on est convenu d’indiquer la limite du produit que l’on considère , en écrivant le produit de ses premiers facteurs ‘suivi d’un &c. , comme on le voit ici,
La meme notation peut etre conservée dans le cas ou
j -, <vi a ’ • ’n?' "
cette limite s évanouit.
. . • ■ • »• > ; , ulc. < 1IK"J Sli. *•
TOM. 1 . Nil
Pouf que ta série (2) soit convergente, il est d'abord nécessaire que , le nombre n venant à croître indéfiniment , chacune des expressions * ,
et par suite cliacune des quantités
Un> U.+ i> Un~>’ &c
devienne infiniment petite. Cette condition étant remplie, comme on a généralement
on trouvera, pour des valeurs de n très-considérables.
Scc
dh , ±6^, , &c. . . . désignant encore des quantités infiniment petites ; puis l’on en conclura , en représentant par m un ' nombre entier quelconque , et par 1 rfc g une moyenne entre les facteurs irfcg^, t±Ên+i, &c. ,
-H Ii\., -+-... ) (> ± «).
Concevons maintenant que dans la formule précédente on fasse croître le nombre m au-delà de toute limite. Selon que chaque, membre de la formule convergera ou non vers une limite fixe , la série (2) sera convergente ou divergente. Cela posé , l’inspection seule du second membre suffira pour établir la proposition que je vais énoncer.
