Théorème. Si la série (i) et la suivante
(S) • uf , u*, uf, ... uf, &c -
sont l’une et l’autre convergentes , la série (2) le sera pareillement , et par suite le produit (3) convergera , pour des valeurs croissantes de n , vers une limite finie différente de zéro. Mais , si, la série ( 1 ) étant convergente , la série (8) est divergente , le second membre de la formule (7) ayant alors pour limite l’infini négatif, le produit (3) convergera nécessairement vers la limite zéro.
COROLLAIRE 1.tr Si la série (2) étant convergente a tous ses termes positifs, ou si elle demeure convergente lors même qu’on réduit ses différens termes à leurs valeurs numériques on sera évidemment assuré de la convergence de la série (8) ; et en conséquence le produit (3) aura pour limite une quantité finie différente de zéro. C’est ce qui arrivera, par exemple, si le produit en question se réduit à l’un des suivans :
(i-H-pr) » • • Corollaire 2.' Comme la série
est convergente, tandis que les carrés de ses différens termes , savoir ,
forment une sérié divergente, il résulte du i théorème que le produit
(,+.,) (,— (—74) «"••• a zéro pour limite.
Corollaire J Le théorème 1 .,r subsiste évidemment dans le cas même où parmi les premiers termes de la série (.1) quelques-uns deviendraient inférieurs à — 1. Seulement , lorsqu’on admet cette nouvelle hypothèse , on doit remplacer dans la série (2) les logarithmes des quantités négatives par les logarithmes de leurs valeurs numériques. Cela posé , il est clair que , pour des valeurs croissantes de n, le produit
convergera, quel que soit x , vers une limite finie différente de zéro.
COROLLAIRE 4 .' Toutes les fois que la série ( 1 ) est convergente, le produit (3) converge, pour des valeurs croissantes de n , vers une limite finie qui peut se réduire à zéro.
Lorsque la limite du produit (3) est finie, sans être nulle , on ne peut pas toujours assigner sa valeur exacte. Dans le petit nombre de produits de cette espèce auxquels correspond une limite connue , on doit distinguer le suivant
dont nous allons à présent nous occuper.
Quand , après avoir posé x = — , on fait croitre n
indéfiniment, le produit (9) converge vers une limite finie représentée par la notation
0°). (I~^) ( 1 * T'ir7 ) (' — -j^f) &C-
Pour déterminer cette limite, il suffira de recourir à l’équation (16) ou (18) de la note précédente. Considérons , pour fixer les idées , l’équation ( 1 6). Si l’on y écrit
par-tout — au lieu de 3, on trouvera, pour des valeurs paires de ni ,
fil) sin. z — m sin. — cos. — x
' 7 mm
et par suite [ en supposant la valeur numérique de 3 inférieure à 7r , et le nombre m égal ou supérieur à 2 ]
m sin. — cos. — m m
Soient d’ailleurs n un nombre entier inférieur à -m, 1 -t- et une quantité moyenne entre les rapports
et i + f une autre quantité moyenne entre les ex pressions
Le second membre de i équation ( 1 2) sera évidemment la somme des deux polynômes
dont le premier pourra être présenté sous la forme
tandis que le second prendra celle du produit
sm.
fn+z. tt\
sin.1 ,7r
( m— z .rx\ )
1 \ im / (
— 1 ) »in. 1
) 2JH '
que l’on peut réduire ( en vertu des principes établis dans la note précédente ) à
sm.
(zy (i'h:),"(0’
Cela posé , l’équation (1 2) deviendra
m sm. — cos. — 99i m
sm.
et l’on en conclura , en faisant , pour abréger ,
SID. aa ,
(.4) pv-
puis, revenant des logarithmes aux nombres,
dfiS
\ wsin. cos. — I
2 pj ~
+> — r(r+/)2tf(o, 1 )
Supposons maintenant que, la valeur de n étant choisie arbitrairement , on prenne pour le nombre entier immédiatement supérieur à n 4 (n désignant un nombre fractionnaire ou irrationnel compris entre i et z ). Lorsque la valeur de n deviendra très-considérable , les quantités
— > ® seront infiniment petites, le produit
sin.
m sin. — cos. — rz zz z coB. - —
différera très-peu de z, et par suite le second membre de i équation (15) s’approchera indéfiniment de la limite
Le premier membre devant converger vers la même limite , on aura nécessairement
Cette dernière formule se trouve ainsi démontrée dans le cas où la valeur numérique de z reste inférieure à TT. Alors les quantités dont nous avons pris les logarithmes sont toutes positives. Mais la démonstration donnée subsiste également pour des valeurs numériques de z supérieures à m , lorsque l’on convient de remplacer le logarithme de chaque quantité négative par le logarithme de sa valeur numérique. En conséquence , l’équa-
tion (i 6) demeure vraie, quelle que soit la valeur réelle attribuée à la variable z. On ne doit pas même excepter le cas où l’on supposerait ,
