I.M PARTIE. C II AP. II

on pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable, pour (jue, x étant égal où supérieur à h, la différence

qui converge vers la limite oo , devienne constamment supérieure à. H; et, en raisonnant comme cidessus, on établira la formule

Si maintenant on pose h-t-n=x, on trouvera, au lieu de l’équation (2) , la formule suivante

de laquelle on conclura, en faisant converger x vers ' la limite 00 ,

lim. ■- > H.

La limite du rapport

sera donc supérieure au nombre //, quelque grand qu’il soit. Cette limite supérieure à tout nombre assignable ne peut être que l’infini positif.

Supposons enfin h = — c» . Pour ramener ce dernier cas au précédent, il suffira d’observer que, la différence

ayant pour limite — 00 , la suivante

aura pour limite -*-oo. On en conclura que la limite

de r~ l est égale à -+- oo , et par suite celle de JM- à -OC.

Corollaire i.rr Pour montrer une application du théorème précédent, supposons f(x) = L (x),

L étant la caractéristique des logarithmes dans un système dont la base surpasse l’unité. On trouvera

et par suite

k = L(l+iï) = L( 0 = °-

On peut donc affirmer que , x venant à croître indéfiniment, le rapport

convergera vers la limite zéro; et il en résulte que, dans un système dont la base est supérieure à l’unité, les logarithmes des nombres croissent beaucoup moins rapidement que les nombres eux-mêmes. Corollaire 2.‘ Supposons, en second lieu, f(x) = AX,

A désignant un nombre supérieur à l’unité. On trouvera

f(x+\)—f(x)z=.A*y —Ax=rAr(A— i),

et par suite

A- — A 00 (A — i)=oo.

On peut donc affirmer que , x venant à croître indéfiniment , le rapport

converge vers fa limite oo ; et il en résulte que l exponentielle A* , lorsque le nombre A surpasse l’unité , finit par croître beaucoup plus rapidement que la variable x.

Corollaire 3/ On doit observer, au reste, qu’il n’y à lieu à chercher par le théorème i.er la valeur du rapport ,

Jf(*î

correspondante à x=oo , que dans le cas où la fonction f(x) devient infinie avec la variable x. Si cette fonction restait finie pour x — 00 , le rapport ■ aurait évidemment zéro pour limite.

Je passe au théorème qui sert à déterminer dans plusieurs cas la valeur de

pour x — 00 . V oici en quoi ii consiste :

2.* Théorème. Si, la fonction f[x) étant positive pour de très-grandes valeurs de x, le rapport

converge , tandis que x croit indéfiniment, vers la

limite k , V expression

convergera en même temps vers la même limite.

D ÉMOXS TR A T ION. Supposons d’abord que la quantité k, nécessairement positive, ait une valeur finie, et désignons par g un nombre aussi petit que ion voudra. Puisque des valeurs croissantes de .r font converger le rapport

vers la limite k , on pourra donner au nombre h une valeur assez considérable pour que, x étant égal ou supérieur à A, ie rapport dont il s’agit soit constamment compris entre les limites

Cela posé , si l’on désigne par n un nombre entier quelconque, chacune des quantités

/(A-+- i) /(Ah- 1) /(A-J-n)

/(A) » /(Ah-,) /(*+—.) »

et par suite leur moyenne géométrique, savoir, f / ( A h- « ) ~\ «

se trouvera comprise entre les limites k — g , k-\-r. On aura donc

— k H- Ct ,

et étant une quantité comprise entre les limites — g, g. Soit maintenant

L’équation précédente deviendra

et l’on en conclura

/(*) ~f{h)\k*r<Ly-k , [/(*)]'=

De plus , pour faire croître indéfiniment la valeur de x , il suffira de faire croître indéfiniment le nombre entier», sans changer la valeur de h. Supposons, en conséquence, que dans l'équation (5) l’on considère h comme une quantité constante, et x comme une quantité variable qui converge vers la limite 00. Les quantités

renfermées dans le second membre, convergeront vers la limite 1 , et le second membre lui-même vers une limite de la forme

h —H CL ,

et. étant toujours compris entre — e et -+- e. Par suite, l’expression

aura pour limite une quantité comprise entre k — e et Cette conclusion devant subsister, quelle

que soit la petitesse du nombre e, il en résulte que

56 cours d’analyse.

ïa limite en question sera précisément la quantité k. En d’autres ternies, on aura

lim. [ /*(•<*)]' = /• = Uni.

Supposons, en second lieu , la quantité k infinie, c'est-à-dire, puisque cette quantité est positive, X= oo . En désignant alors par H un nom lire aussi grand que l’on voudra , on pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable pour que , x étant égal ou supérieur à h, le rapport

qui converge vers la limite oo , devienne constamment supérieur à //; et, en raisonnant comme cidessus, on établira la formule

Si maintenant on pose h^-n—x, on trouvera, au lieu de l’équation (5), la formule suivante

m*)Ÿ >[mv Hi-h' >

de laquelle on conclura, en faisant converger a: vers la limite 00 ,

Km. [/(*) Y > H.

La limite du rapport

sera donc supérieure au nombre H , quelque grand

qu’il soit. Cette limite, supérieure à tout nombre assignable, ne peut être que l’infini positif.

Nota. On pourrait facilement démontrer l’équation (6) , en cherchant par le théorème i .*r la limite vers laquelle converge le logarithme

et repassant ensuite des logarithmes aux nombres.

Corollaire i.‘r Pour donner une application du 2.f théorème, supposons

f(x) -xi •

on aura

et par suite , en passant aux limites ,

Donc , si l’on fait croître indéfiniment la variable x, la fonction

convergera vers la limite i.

Corollaire 2 .' Soit, en second lieu,

f(x) = ax " -+- bxn~l -+- cx”~l -+- &c.... — P ,

en sorte que P désigne un polynôme en x du degré ». On trouvera

58 cours d’analyse.

et, en passant aux limites,

Si donc P représente un polynôme entier quelconque , P x aura pour limite i .

Corollaire j.* Soit enfin f{x) = L{*).

On trouvera

fr.r-y- i) L(x-hi) ^ L ( i *+“ 7 )

et, en passant aux limites , k = i.

Par suite, [Z, fa:) ]* a encore pour limite l’unité.

Les théorèmes i .er et z.e subsistent évidemment dans le cas même où la variable x est considérée comme ne pouvant admettre que des valeurs entières. En effet , pour rendre applicables à ce cas particulier les démonstrations que nous avons données des deux théorèmes, il suffit de concevoir que la quantité désignée par h dans chacune de ces démonstrations devienne un nombre entier trèsconsidérable. Si, dans le même cas, on représente les valeurs successives de la fonction /(.r) correspondantes aux diverses valeurs entières de x, savoir,

par

on obtiendra à la place des théorèmes i.er et 2.e les propositions suivantes.