Théorème. Si la suite des nombres

A A% , A^ An, &c. ...

est telle que le rapport entre deux termes consécutifs , savoir,

converge constamment, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite f ixe A, l’ expression

convergera en même temps vers la même limite*

CO. cours d’analyse.

Pour montrer une application du dernier théorème, supposons

• An — 1.2.3 . . . ».

La suite A, , Aly ... &c. . . . deviendra

et le rapport entre deux termes consécutifs de la même suite , savoir ,

convergera évidemment , pour des valeurs croissantes de n , vers la limite 00 . Par suite , l’expression

(AnÏ =(l.2.3... »)"

converge vers la même limite.

O11 trouverait, au contraire, que l’expression

converge, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro. 4

Souvent, à l’aide des théorèmes i.er et 1.', on peut déterminer la valeur singulière que reçoit une fonction composée de la variable x, tandis que cette variable s’évanouit. Ainsi , par exemple , si l’on veut obtenir la valeur singulière de x* correspondante à x = o , il suffira de chercher la limite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes de x, l’ex-

pression (—) — — • Cette limite, en vertu du

théorème 2.* (corollaire i.er), est égale à l’unité.

De même, on conclurait du théorème i.*r (corollaire i.*r) que la fonction

x L (jt)

s’évanouit avec la variable x.

Lorsque les deux termes ri une fraction sont des quantités infiniment petites , dont les valeurs numériques décroissent indéfiniment avec celle de la variable et, la valeur singulière que reçoit cette fraction, pour oi = o , est tantôt finie, tantôt nulle ou infinie. En effet , désignons par k, k' deux constantes finies qui ne soient pas nulles , et par g , e' deux nombres variables qui convergent avec et vers la limite zéro. Deux infiniment petits, l’un de l’ordre n, l’autre de l’ordre ri , pourront être représentas respectivement par

Æct°( 1 dtg) , Â-'et"'( I±g');

et leur rapport , savoir ,

k<t"( izht) ~

• j ^ ‘ i ACa* —

* izfct <t” 1

aura évidemment pour limite

si l’on suppose

ri > n ,

dr oo ,

si l’on suppose

ri < n.

62 cours d’analyse.

On prouverait de même que la limite vers laquelle converge le rapport de deux quantités infiniment grandes , tandis que leurs valeurs numériques croissent indéfiniment avec celle d’une même variable x, peut être nulle , finie , ou infinie. Seulement, cette limite a un signe déterminé , constamment égal au produit des signes des deux quantités que l’on considère.

Parmi les fractions, dont les deux termes convergent avec la variable ce vers la limite zéro , on doit placer la suivante

f(x-t-ct) —/(x)

toutes les fois qu’on attribue à la variable x une valeur dans le voisinage de laquelle la fonction f{x) reste continue. En effet , dans cette hypothèse , la différence

est une quantité infiniment petite. On peut même remarquer quelle est en général un infiniment petit du premier ordre , en sorte que le rapport

et) — /(*) a.

converge ordinairement , tandis que la valeur numérique de ce diminue, vers une limite finie différente de zéro. Cette limite sera, par exemple,

2X , si l’on prend f(x ) == x%

et p- , si l’on prend f{x) =~-

Dans le cas particulier où l’on suppose x — o , le rapport se réduit à cet autre

Parmi les rapports de cette dernière espèce , nous nous bornerons ici à considérer le suivant

«in. cl et

Comme il peut être mis sous la forme

sin. ( — a)