COI. CL

sin. cl

I > > cos. et.

Or, tandis que et diminue, cos. et converge vers la limite i : ii en sera donc de même a fortiori du

rapport — toujours compris entre i et cos. et , en sorte qu’on aura

lim.

sin. et et

La recherche des limites vers lesquelles convergent

les rapports ^ — sL1-L , étant un

des principaux objets du calcul infinitésimal, nous 11e nous y arrêterons pas davantage.

II nous reste à examiner les valeurs singulières des fonctions de plusieurs Variables. Quelquefois ces valeurs sont complètement déterminées, et indépendantes des relations que l’on pourrait établir entre les variables. Ainsi, par exemple, si l’on désigne par

quatre variables positives , dont les deux premières convergent vers la limite zéro, et les deux dernières vers la limite 00 , on reconnaîtra sans peine que les expressions

ï“ PARTIE. CH AP. II.

ont pour limites respectives

O, oo, O, OO , O, OC .

Mais le plus souvent la valeur singulière d’une fonction de plusieurs variables ne peut être entièrement déterminée que dans le cas particulier où , en faisant converger ces variables vers leurs limites respectives, on établit entre elles certaines relations; et, tant que ces relations ne sont pas fixées, la valeur singulière dont il s’agit est une quantité ou totalement indéterminée , ou seulement assujettie à rester comprise entre des limites connues. Ainsi , comme on l’a remarqué plus haut, la valeur singulière à laquelle se réduit le rapport de deux variables infiniment petites, dans le cas où chacune de ces variables s’évanouit , peut être une quantité quelconque finie , nulle ou infinie. En d’autres termes , cette valeur singulière sera complètement indéterminée. Si, au lieu de deux variables infiniment petites, on considère deux variables infiniment grandes , on trouvera que le rapport de ces dernières , .tandis que leurs valcurlnumériques croissent indéfiniment, converge encore vers une limite arbitraire, mais positive ou négative, suivant que les deux variables sont de même signe ou de signes contrâmes. Il est également facile de s’assurer que le produit d’une variable infiniment petite par une variable infiniment grande a pour limitç une quantité- complètement indéterminée.

Afin de présenter une dernière application des

66 COURS d’àhalyse.

principes qu’on vient detablir , cherchons quelles valeurs il faut attribuer aux variables x et y pour que la valeur de la fonction

devienne indéterminée. Si l’on désigne par A un nombre supérieur à l'unité, et par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A, on aura évidemment

et par suite

Or, il est clair que l’expression s

’ Kr)

convergera vers une limite indéterminée, lorsque le rapport

convergera lui-méme vers une seinblable limite, ce qui arrivera dans deux cas dift’érens, savoir, i .° lorsque Z, (y) et x seront deux quantités infiniment petites, c’est-à-dire, lorsque x et y auront pour limites respectives o et i ; 2.0 lorsque L (y) et x seront deux quantités infiniment grandes, c’est-àdire, lorsque x ayant une limite infinie, y aura pour limite o ou 00. Il est bon d’observer que, dans l’un et l’autre cas, Ja limite indéterminée de l’expression