I." PARTIE. GHAP. H

sera nécessairement positive. Il peut même arriver que cette limite soit assujettie à demeurer comprise entre les valeurs extrêmes o et i , ou bien entre tes suivantes, i et ». Concevons, par exemple, que chacune des variables x et y converge vers la limite oo . Dans ce cas , la limite du rapport

étant une quantité positive quelconque, celle de

y * — A * ne pourra être qu’une quantité moyenne entre r et oo. Cette moyenne sera d’ailleurs indéterminée , tant que l’on n’établira pas entre les variables infiniment grandes .r et y de relation particulière. Mais si l’on suppose y

J'(x) désignant une fonction qui croisse indéfiniment avec la variable x , alors la moyenne dont il s’agit, n’étant autre chose que la limite de

r/wr.

obtiendra une valeur déterminée, que l’on pourra souvent calculer à l’ajde du théorème z.e i

Si , au lieu de la fonction y x , on eût considéré la suivante

on aurait trouvé que cette dernière devient indéter-

68 COURS d’analyse.

minée, i.#. lorsque la variable y converge vers ta

limite i , et la variable x vers l’une des suivantes,

oo , oo ; 2° lorsque, la variable x ayant zéro

pour limite, y converge vers zéro ou vers l’infini positif.

Quelquefois on rencontre dans le calcul des expressions singulières qui ne peuvent être considérées que comme des limites vers lesquelles convergent des fonctions de plusieurs variables , tandis que ces mêmes variables deviennent infiniment petites ou infiniment grandes , ou même, plus généralement,' convergent vers des limites fixes. Telles sont , par exemple , les expressions

O OO 9 00 ç ,

OXO r —, 00X00 , — , 0X00 , O, I , &C....

O oo ,

parmi lesquelles on doit regarder les deux premières comme les limites vers lesquelles convergent le produit et le rapport de deux variables infiniment petites , les deux suivantes comme les limites du produit et du rapport de deux variables positives infiniment

grandes, &c Si l’on considère en particulier les

expressions singulières que produisent les fonctions

' x-hy, xy, j, yx, y*,

on trouvera que les valeurs 3e ces mêmes expressions, lorsque les variables restent indépendantes, peuvent être aisément fixées par ce qui précède. Les équations qili serviront à déterminer ces valeurs

seront respectivement •...>»

pour la fonction'

x-\-y... oo -h 00 = 00, oo — oo=*Af({ — oo, -+- oo))

0*0 = 0, o*oo = ox — oo = Af (( — oo, -+- oc ; 00 x 00= — OO x — 00 = 00, OO x — oo = — OO ;

lo " " OO "OO O O