CHAPITRE III

Des Fonctions symétriques et des Fonctions alternées: Usage dé ces fonctions pour la résolution des équations du premier degré à un nombre quelconque d’inconnues. Des Fonctions homogènes.

J. 1 ,tr Des Fonctions symétriques.

Une fonction symétrique de plusieurs quantités est celle qui conserve la même valeur et le même signe après un échange quelconque opéré entre ces quantités. Ainsi, par exemple, chacune des fouctions

,r-+-y, X>'-*-iff xyz, sin. X-+- sin.ÿ-4- sin. Z, &LC...

est symétrique par rapport aux variables quelle renferme, taudis que

x — y, xy , &c.... •

sont des fonctions non symétriques des variables x et y. De même encore

b-hc, U-t-c1 , bc, &c. ..

sont des fouctions symétriques des deux quantités à, c;

b-+-c-+-d, b'+c'-ï-d1, bc-t-bd-+-cd, bcd

sont des fonctions symétriques des trois quantités b j Cf d f &,c. ...

Parmi les fonctions symétriques de plusieurs quantités b , c . . .g, h , on doit distinguer celles qui servent de coelïiciens aux diverses puissances de ci dans le développement du produit

(a— b) ( a—c) («-'-gO (a~ &)f

et dont les propriétés conduisent à une solution trèsélégante de plusieurs équations du premier degrc entre n variables x , y, z . . .u , vf lorsque ces équations sont de la forme

Sx -+- y z -+-... -+- B ■+■ v — n, i

a x ■+■ b y -+- cz-\r...~*-gu-+-hv— k , ,

^ij' a'x -+■ bzy -+- clz -+■ ... -+-gr*M h v— kx ,

( an~'x-tr-b,‘~,y-t-cn~'z-i-...-+-gr’~'tt-t-hn~'v=k’1~z.

En effet, soient

An^ = — (b-hc-+-&LC -4 -g+h) y

A „3 = bc ... -+- bg-+- bh ■+■ ... -t- c £• -h c -+- . • . -+- gh , &c

A0=±bc gh

les fonctions symétriques dont il s’agit , en sorte qu’on ait

att-’-hA„,an-t-i-...-+-Ala-hA =(a-b)(a-c)(a-d')...

Si, dans cette dernière formule, on remplace successivement a par b , par c f &c.... , par g, par hr on trouvera

bn~' -4 -A„~1 bn~x -+- &c. . . . A, b -hAB = o ,

c~' -+- An, c"~* -+- &c. A,c ■+■ Aa = o ,

■+• A„tg^'-t-&c.... +A,#-t-A0 = o,

-h"~’ -+- /i”-* •+- &c Ah A a — o.

Si l’on ajoute ensuite membre à membre les équations ( i ), après avoir multiplié la première par Aa , ïa seconde par A, , &c... , l’avant-dernière par A„lf et la dernière par l’unité, on obtiendra la suivante

( an~' -4- A a”~* -+- &c -+- A , a -+- A6 ) x

— hn i -+- A . . . -t-A, k, -i-A, kt ;

et l’on en conclura

frn,— (b+c‘..+ff+h)kK t+{br...+bff+/>/i...+c(r+eh...+ffh)tn~— &c.±&f...gA.A.

(«— *)(«— c) {a~ei («— *;•

On déterminerait par un procédé analogue les valeurs des autres inconnues y, z .. .u, v.

Lorsque, dans les équations (1), on substitue aux constantes

b0 1 kt , h x . . . ,

les puissances entières successives d’une méine quantité k, savoir,

*• = 1, k, h1 ... kn~' ,

la valeur trouvée pour x se réduit à

£ 2.^ Des Foliotions alternées.

; , i - • ii

Une fonction alternée de plusieurs quantités est celle qui change de signe, mais en conservant au signe près la même valeur, lorsqu’on échange deux de ces quantités entre elles ; en sorte que , par une suite de semblables échanges, la fonction devienne alternativement positive et négative. D’après cette définition ,•»’>. .. y

x — y, xyx — xl y , L\^j)fs\n.x — sin .y, &c...

sont des fonctions alternées des deux variables x et y,

est une fonction alternée des trois variables x, y , z ; et ainsi de suite.

Parmi les fonctions alternées de plusieurs va- • riables

on doit distinguer celles qui sont rationnelles et entières par rapport à chacune de ces mêmes variables. Supposons une semblable fonction développée et mise sous la forme d’un polynôme. Un de ses termes, pris au hasard , sera de la forme

le xp y1 zr . . . .. us v? ,

74 cours d’analyse. !

p , q, r ... s, t désignant des nombres entiers, et k un coeflîcient quelconque. De plus, la fonction devant changer de signe,- mais conserver au signe près la même valeur, après icchange mutuel des deux variables x et y , il faudra de toute nécessité qu’au terme dont il s’agit corresponde un autre terme de signe contraire

— k xi yp zr u‘ v* ,

déduit du premier en vertu de cet échange. La fonction se composera donc de termes alternativement positifs et négatifs, qui, réunis deux à deux, produiront des binômes de la forme

k xp y1 zr ... tt? v* — k x1 yp zr ... u’ vf

— k ( xp y1' — x* yp) zr . . . us vr.

Dans chaque binôme de cette espèce* p, q seront nécessairement deux nombres entiers distincts l’un de l’autre ; et , comme la différence

xp y ? — x ? yp .

est évidemment divisible par y — x, ou , ce qui revient au même, par .r — y, il en résulte que chaque binôme et par suite la somme des binômes ou la fonction proposée sera divisible par

=fc (y—x).

Comme on peut d’ailleurs, dans les raisonnemens qui précèdent, substituer aux variables x et y deux autres variables quelconques x et z, ou y et z, &c...

on obtiendra définitivement les conclusions suivantes :

1. * Une fonction alternée, mais entière, de plusieurs variables x, xj , z u, v, est composée

de termes alternativement positifs et négatifs , dans chacun desquels les diverses variables' ont toutes des exposans différens ;

2. " Une semblable fonction est divisible par le produit des différences

— (y~x), ± (*—•*)» ...±(k— tf), dz(y—x)f

prises chacune avec tel signe que l’on voudra. •*

. Le produit dont il est ici question-, ainsi qu’on peut aisément le reconnaître, est lui-mème une fonction alternée des variables que l’on considère. Pour le prouver, il suffit de faire voir que ce produit change de signe , en conservant au signe près la même valeur , après l’échange mutuel de deux variables, x et y par exemple. Or en effet, suivant que l’on adopte pour chaque différence le signe -t- <yi le signe — , ce produit se trouve égal soit à soit à — Cp , la valeur de Cp étant déterminée par l’équation

' (y—*) • • • («— *) (v-tt) x (z— y) . . . («— y) (v—y) x . . . x (»— «) ;

76 COURS D’AN A LYS B

et, comme i! est évident que cette valeur de change seulement de éîgne en vertu de Icchange mutuel des variables x et y, on peut conclure qu’il en sera de même d’une fonction équivalente soit à. Cj> , soit à — <J>.

Concevons, pour fixer les idées, que l’on prenne chacune des différences ( i ) avec le signe -h. Le produit de toutes ces différences sera la fonction <|> déterminée par l’équation (2), ou, ce qui revient au même, par la suivante

Si, de plus, on appelle n le nombre des variables x,y, z ... u, v ; n — 1 sera évidemment le nombre des différences qui renferment une même variable : et par suite , dans chaque terme de la fonction <^> développée et mise sous la forme d’un polynôme , l’exposant d’une variable quelconque ne pourra surpasser n — 1. Enfin, comme dans un même terme les différentes variables devront être affectées d’exposans différens , il est clair que ces divers exposans seront respectivement égaux aux nombres

Chaque terme , abstraction faite du signe et du coefficient numérique , sera donc équivalent au produit des diverses variables rangées dans un ordre quelconque, et respectivement élevées aux puissances marquées par les nombres o, 1, 2,3,...» — 1. On doit

ajouter que chaque produit de cette espèce se trouvera compris une seule fois, tantôt avec le signe -+-, tantôt avec le signe — , dans le développement de la fonction <}>. Par exemple, le produit

ne pourra être formé que par la multiplication des

premières lettres des facteurs binômes qui composent le second membre de l’équation (3).

A l’aide des principes que nous venons d’établir, il est facile de construire en entier le développement de la fonction <p , et de démontrer ses diverses propriétés [ voyez à ce sujet la note IV ]. Nous allons maintenant faire voir comment on se trouve conduit, par la considération d’un semblable développement, à la résolution des équations générales du premier degré à plusieurs variables.

Soient

a0 x -4- bay -+- c„ z h- . . . ga u -+■ hB v = k. ,

a, x-+- bt y -i-c, z -+- +^1«+/i,îi=l,i,

aix-+-b1y + c xz -+- . . . -+-£•,?*-»-/*, v = kx ,

a„lx+bn ly+cn tz+...+gn lu-*-hn lv=kll t

*n équations linéaires entre les n variables ou inconnues

x, y, z ... u,.v, et les constantes

78 cours d’analyse.

) bm I C0 , 6lC. . . . ) h, , I

^n-i > ^n-1 * ^«-1 > ^LC. . . ffn—i » ^n-i » ^'»-r »

choisies arbitrairement. Représentons, en outre, par P ce que devient la fonction <p lorsqu’on y remplace les variables

par les lettres

considérées comme autant de nouvelles quantités ; en sorte qu’on ait

Le produit P sera la fonction alternée la plus simple des quantités a, b, c ... g, h; et, si l’on développe cette fonction par la multiplication algébrique de ses facteurs binômes, chaque terme du développement sera équivalent , au signe près , au produit de ces mêmes quantités rangées dans un certain ordre , et respectivement élevées à des puissances marquées par les exposans o, i , 2, 3, ...*n — i.. Cela posé , concevons que dans chaque terme 011 remplace les exposans des lettres par des indices , en écrivant , par exemple ,

au lieu du terme

a° b ’ c* ..... g”-' hT' ;

et désignons par D ce que devient alors ïe développement du produit P. La quantité D aura évidemment, tout comme le produit P , la propriété de changer de signet, lorsqu’on échangera entre elles deux des lettres données , par exemple , les deux lettres^ et b. Il est aisé d’en conclure que la valeur de D sera réduite à zéro, si l’on écrit dans tous ses termes la lettre b à la place de la lettre a, sans écrire en même temps a à la place de b. II en serait de même si l’on écrivait par- tout à la place de la lettre a l’une des lettres c .... g, h. Par suite, si , dans le polynôme D, on désigne la somme des termes qui ont aa pour facteur commun par A0a0 , la somme des termes qui renferment le facteur a, par

A,a ,, &c ; enfin la somme des termes qui ont

pour facteur par A„,a„, , en sorte que la valeur de D soit donnée par l’équation

(6) D=Aoa0-hAlal-hA,a1-+-&.c...-+-A„la;, ,

on trouvera, en écrivant successivement dans le second membre de cette équation les lettres b, c... g, h, à la place de la lettre a,

S o = Aob0-t- A, b,-h A tbx-+- ...-+- A n t bn , o = A0c0-hA,cl-+-A1ct-i-...-+-A„l cn, ,

1 o = AQg„ + Algx-*-A>gx-*-...-+-A„lgn l ,

\ o — A% ha-i-Aihl -\-Athx -+- . . . An t

COURS d’analyse.

Supposons maintenant qu’on ajouté membre à membre les équations (4), après avoir multiplié U première par Aa , la seconde par A , , la troisième par^l, ... la dernière par An,. On verra , dans cette addition, les coefïiciens des inconnues y, z . . . u, v disparaitre d’eux-mémes en vertus. des formules (7), et l’on obtiendra définitivement l’équation

D x — A „ k 0-^~ A l k , -+-AX & c... -+- A n , XB, ,

de laquelle on conclura

Comme d’ailleurs des deux quantités D et Aa ka -+- A , X, -+-A1 X' t -t- .... -t- A X„,

la première est ce que devient le développement du produit ; . . .

{b — a)x(c — a) (c — X)x...x(X — a'\(Ji — b)(h — c)...(/i — -g) ,

lorsque dans ce développement on remplace les exposans des lettres par des indices, et la seconde, ce que devient la quantité D, équivalente- au second membre de la formule (6), lorsqu’on y substitue la lettre X à la lettre a ; il en résulte que la valeur de x peut être censée déterminée par l’équation

pourvu que l’on convienne de développer les deux

termes de la fraction qui forme ie second membre, et de remplacer dans chaque développement les exposans des lettres par des indices. La valeur que l’équation (p) prise à la lettre semble fournir pour l’inconnue x, n’étant pas exacte et ne pouvant le devenir que par suite des modifications énoncées, est ce que nous nommerons une valeur symbolique de cette inconnue.

La méthode qui nous a conduits à la valeur symbolique de x fournirait également celles des autres inconnues. Pour montrer une application de cette méthode , supposons qu’il s’agisse de résoudre les équations linéaires

atx-t-bly-*-ctz = kl,

ax x ■+■ bx y -+■ cxz — kx.

On trouvera dans cette hypothèse , pour la valeur symbolique de l’inconnue x ,

fb — k)(c — k)(c — b) v — ~(~b — a ){c — a) ( c — 6)

k°b'c *— k°blc'-h k'b'c0— k'b'c'-h k*b°c'— k‘b'c° a0b'c‘^ac,b2c' -t- a’b2c° — a'b°c*-\- a1b'’cl — a'À'c° ’

et par suite, la valeur véritable de la même inconnue sera

' l "ol>1cx—a!>b1cl-Hilb2c0-a,b0cx-^axb0ct—axblc0 '

Nota. Lorsque, dans les équations (4), on remplace les indices des lettres a,bfc ... g, h, k par des TOM. 1. F

82 cours d’analyse.

exposans, la valeur symbolique de x donnée par l'équation (9) devient évidemment la valeur véritable , et coïncide, comme on devait s’y attendre, avec celle que fournit la formule (3) du §. 1